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目錄

前言

一、離散型隨機(jī)變量

? ? ? ? ?1.1 0-1分布

1.2 二項(xiàng)分布

1.3 帕斯卡分布

1.4 幾何分布

1.5 超幾何分布

1.6 泊松分布

二、連續(xù)型隨機(jī)變量

2.1 均勻分布

2.2 指數(shù)分布

2.3 高斯分布/正態(tài)分布

2.4 分布(抽樣分布)

2.5?t分布(抽樣分布)

2.6?F分布(抽樣分布)

2.7?分布

2.8 瑞利分布

2.9 萊斯分布

2.10 韋布爾分布

2.11?分布

2.12 對(duì)數(shù)正態(tài)分布

2.13 柯西分布

三、性質(zhì)及定理

3.1、均值性質(zhì)

3.2、方差性質(zhì)

3.3、定理

總結(jié)


前言

? ? ? ? ?本文首先結(jié)合自身研究經(jīng)驗(yàn),在前言部分簡單敘述自己對(duì)隨機(jī)概念的理解,描述可能不是很專業(yè),僅供參考。正文部分重點(diǎn)描述常見的離散型隨機(jī)變量以及連續(xù)性隨機(jī)變量的分布類型,這部分參考各方資料,如果問題,歡迎評(píng)論區(qū)具體指出。

? ? ? ? 個(gè)人認(rèn)為目前隨機(jī)概念更多的是對(duì)結(jié)果的描述,人們往往容易忽略產(chǎn)生這種隨機(jī)結(jié)果的原因。以拋骰子為例,普遍認(rèn)為,如果隨機(jī)拋出骰子,每次投出結(jié)果是不同的,我們把這種輸出結(jié)果看似隨機(jī)的現(xiàn)象認(rèn)為是隨機(jī)事件。

? ? ? ? 事實(shí)上,拋骰子可以認(rèn)為是一種相當(dāng)復(fù)雜的物理過程,其結(jié)果受拋出骰子時(shí),手對(duì)骰子的力,所處環(huán)境中的重力,骰子飛行過程受到的阻力以及骰子碰撞地面的受力情況等諸多因素的影響。我們嘗試對(duì)拋骰子這樣一個(gè)物理過程進(jìn)行精準(zhǔn)建模,在拋骰子過程中,如果我們能夠弄清楚影響骰子結(jié)果的所有要素,并且也能在投骰子過程精確的保證所有要素在每次實(shí)驗(yàn)都能一致,是否意味著每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果都能驚人的一致。

? ? ? ?問題是對(duì)拋骰子過程的建模是非常困難的,一方面整個(gè)物理過程影響要素很多,碰撞方面機(jī)理或許不是完全清楚,另一方面,很難保證拋骰子的力度以及角度完全確定。因此,目前的研究是將其作為一個(gè)黑盒子模型進(jìn)行研究,模型輸入是隨機(jī)拋出骰子,投出骰子的狀態(tài)、使出的力度、投出的角度憑借試驗(yàn)者的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行,這樣就可以對(duì)模型輸出的結(jié)果進(jìn)行研究,并基于概率統(tǒng)計(jì)原理對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

? ? ? ?由于結(jié)果隨機(jī)出現(xiàn)的特性,投骰子被運(yùn)用到賭博上,一些人為了得到想要的結(jié)果上,一方面,有些人可能會(huì)在大量投骰子訓(xùn)練過程中找到投出特定點(diǎn)數(shù)的手感,以此大幅提高投出特定點(diǎn)數(shù)的概率;另一方面,有些人會(huì)對(duì)骰子進(jìn)行改造,如改變骰子重心(利用重心越低,物理狀態(tài)越穩(wěn)定的規(guī)律),使其投出特定點(diǎn)數(shù)的概率大大提升。

? ? ? 上述論述多是自己的遐想,感興趣的讀者可以以此來對(duì)隨機(jī)概念進(jìn)行新的思考。有些隨機(jī)過程并不像投骰子那樣可以輕易改變分布類型,如接收機(jī)中的熱噪聲,或者說產(chǎn)生各種隨機(jī)現(xiàn)象的機(jī)理并不容易研究,而我們又急需從隨機(jī)的結(jié)果中獲取所需的信息(個(gè)人感覺有點(diǎn)像現(xiàn)在的人工智能,機(jī)器學(xué)習(xí)),因此,人們巧妙的避開機(jī)理上的問題,用統(tǒng)計(jì)結(jié)果的分布特點(diǎn)來描述整個(gè)過程,利用少數(shù)的統(tǒng)計(jì)參量依概率描述復(fù)雜的模型準(zhǔn)確性。為了更加嚴(yán)謹(jǐn)描述隨機(jī)現(xiàn)象,隨機(jī)結(jié)果用隨機(jī)變量描述,并根據(jù)結(jié)果特點(diǎn)分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)性隨機(jī)變量,下面簡單介紹。


一、離散型隨機(jī)變量

1.1 0-1分布

? ? ? ? ?0-1分布又稱兩點(diǎn)分布或伯努利( Bernoulli)分布,試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)(如成功、失敗)。設(shè)隨機(jī)變量X 只取 0或 1兩個(gè)值,它的分布律為

P\left \{ X=k \right \}=p^{k}(1-p)^{1-k}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, k=0,1

? ? ? ? ? 則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p的(0 —1)分布,記作X\sim b\left ( 1,p \right )。

均值

E\left ( X \right )=\sum_{k=0}^{1}kp^{k}(1-p)^{1-k}=p

方差

D\left ( X \right )=E\left [ \left ( X-E\left ( X \right ) \right )^{2} \right ]=\sum_{k=0}^{1}\left (k-p \right )^{2}p^{k}(1-p)^{1-k}=p\left ( 1-p \right )

1.2 二項(xiàng)分布

? ? ? ?重復(fù)地進(jìn)行 n ?次獨(dú)立伯努利試驗(yàn)(“重復(fù)” ?是指這個(gè)試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同,“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響),結(jié)果為1的試驗(yàn)次數(shù)服從二項(xiàng)分布。設(shè)隨機(jī)變量X 的所有可能值為0, 1, 2,… ,n, 其分布律為

P\left ( X=k \right )=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, k=0,1,\cdots ,n

? ? ? ?則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p的(0 —1)分布,記作X\sim b\left ( n,p \right )

均值

E\left ( X \right )=\sum_{k=0}^{n}kC_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}=np\sum_{k=1}^{n}kC_{n-1}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}=np

方差

E\left ( X^{2} \right )=E\left [ X\left ( X-1 \right ) \right ]+E\left ( X \right )\\=\sum_{k=0}^{n}k\left ( k-1 \right )C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}+np\\=n\left ( n-1 \right )p^{2}\sum_{k=2}^{n}C_{n-2}^{k-2}p^{k-2}(1-p)^{n-k}+np\\=n\left ( n-1 \right )p^{2}+np

D\left ( X \right ) =E\left ( X^{2} \right )-\left [ E\left ( X \right ) \right ]^{2}=np\left ( 1-p \right )

1.3 帕斯卡分布

? ? ? ? 在重復(fù)、獨(dú)立的伯努利試驗(yàn),設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p,失敗的概率為q= 1- p,若將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r(r為常數(shù))次成功為止,以隨機(jī)變量X表示所需試驗(yàn)次數(shù),則 X是離散型隨機(jī)變量, 其分布律為為:

P\left ( X=k \right )=C_{k-1}^{r-1}p^{r}(1-p)^{k-r}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, k=r,r+1,\cdots

則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p,r的幾何分布,記作X\sim NB\left ( r,p \right )

均值

E\left ( X \right )=\sum_{k=0}^{n}kC_{k-1}^{r-1}p^{r}(1-p)^{k-r}=\frac{r}{p}

方差

D\left ( X \right )=E\left [ \left ( X-E\left ( X \right ) \right )^{2} \right ]=\frac{r\left ( 1-p \right )}{p^{2}}

1.4 幾何分布

? ? ? ? 重復(fù)進(jìn)行隨機(jī)事件,直到事件發(fā)生為止才停下,X?為首次發(fā)生時(shí)共做的事件的次數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量X 的所有可能值為1, 2,… , 其分布律為

P\left ( X=k \right )=p(1-p)^{k-1}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, k=1,2,\cdots

則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p的幾何分布,記作X\sim GE\left ( n,p \right )

均值

E\left ( X \right ) =\sum_{k=1}^{\infty }kp(1-p)^{k-1}=p\sum_{k=1}^{\infty }k(1-p)^{k-1}=p\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}

方差

E\left ( X^{2} \right )=\sum_{k=0}^{\infty }k^{2}p(1-p)^{k-1}=\frac{1+q}{p^{2}}

D\left ( X \right ) =E\left ( X^{2} \right )-\left [ E\left ( X \right ) \right ]^{2}=\frac{1-p}{p^{2}}

1.5 超幾何分布

? ? ? ? ? N?個(gè)產(chǎn)品,其中?M?個(gè)次品,從中任取?n?個(gè)。?X?為這?n?個(gè)中的次品數(shù),則?X~H(n,M,N)?。分布律為:

P\left ( X=k \right )=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, k=0,1,\cdots,M

均值

E\left ( X \right )=\sum_{k=0}^{n}kC_{k-1}^{r-1}p^{r}(1-p)^{k-r}=n\frac{M}{N}

方差

D\left ( X \right )=E\left [ \left ( X-E\left ( X \right ) \right )^{2} \right ]=\frac{nM}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}

1.6 泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X 的所有可能值為0, 1, 2,… , 其分布律為

P\left ( X=k \right )=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, k=0,1,\cdots

其中\lambda >0是常數(shù),則稱X 服從參數(shù)為\lambda的泊松分布,記作X\sim \pi\left ( \lambda \right )

均值

E\left ( X \right ) =\sum_{k=0}^{\infty }k\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }=\lambda\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k-1}}{\left ( k-1 \right )!}e^{-\lambda }=\lambda

方差

E\left ( X^{2} \right )=E\left [ X\left ( X-1 \right ) \right ]+E\left ( X \right )\\=\sum_{k=0}^{\infty }k\left ( k-1 \right )\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }+\lambda\\=\lambda^{2}e^{-\lambda }\sum_{k=2}^{\infty }\frac{\lambda ^{k-2}}{\left ( k-2 \right )!}+\lambda\\=\lambda^{2}+\lambda

D\left ( X \right ) =E\left ( X^{2} \right )-\left [ E\left ( X \right ) \right ]^{2}=\lambda

二、連續(xù)型隨機(jī)變量

2.1 均勻分布

概率密度函數(shù)

f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} & x\in \left ( a,b \right )\\ 0 & else \end{matrix}\right.

均值

E\left ( X \right ) =\int_{-\infty }^{\infty }xf\left ( x \right )dx=\frac{a+b}{2}

方差

E\left ( X^{2} \right ) =\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}f\left ( x \right )dx=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}

D\left ( X \right ) =E\left ( X^{2} \right )-\left [ E\left ( X \right ) \right ]^{2}=\frac{\left ( b-a \right )^{2}}{12}

2.2 指數(shù)分布

概率密度函數(shù)

f\left ( x \right )=\lambda e^{-\lambda x}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x>0

均值

E\left ( X \right ) =\int_{-\infty }^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }

方差

E\left ( X^{2} \right ) =\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}f\left ( x \right )dx=\frac{2}{\lambda ^{2}}

D\left ( X \right ) =E\left ( X^{2} \right )-\left [ E\left ( X \right ) \right ]^{2}=\frac{1}{\lambda ^{2}}

2.3 高斯分布/正態(tài)分布

概率密度函數(shù)

f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}} e^{-\frac{\left ( x-\mu \right )}{2\sigma ^{2}}}

均值

E\left ( X \right ) =\int_{-\infty }^{\infty }xf\left ( x \right )dx=\mu

方差

D\left ( X\right ) =\int_{-\infty }^{\infty }\left ( x-\mu \right )^{2}f\left ( x \right )dx=\sigma ^{2}

2.4 \chi ^{2}分布(抽樣分布)

設(shè)X1, X2, … , Xn是來自總體N(0,1)的樣本, 則稱統(tǒng)計(jì)量:?

\chi ^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}

服從自由度為 n 的\chi ^{2}分布。概率密度函數(shù)

其中伽瑪函數(shù)\Gamma \left ( \alpha \right )

均值

E\left ( Y \right ) =\int_{-\infty }^{\infty }yf\left ( y \right )dx=n

方差

D\left ( Y \right ) =\int_{-\infty }^{\infty }\left ( y-n \right )^{2}f\left ( y \right )dx=2n

2.5?t分布(抽樣分布)

設(shè)X~N(0,1) , Y~ \chi ^{2}\left ( n \right )? ? ?, ?且X與Y相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量

t =\frac{X}{\sqrt{Y/n}}

服從自由度為 n的 t 分布.t 分布又稱學(xué)生氏(student)分布.概率密度函數(shù)

均值

E\left ( t \right ) =\int_{-\infty }^{\infty }tf\left ( t \right )dx=0

方差

D\left ( t \right ) =\int_{-\infty }^{\infty }\left ( t-0 \right )^{2}f\left ( t \right )dx=\frac{n}{n-2}

2.6?F分布(抽樣分布)

設(shè)U\sim \chi ^{2}\left ( n_{1} \right )V\sim \chi ^{2}\left ( n_{2} \right ),U與V相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量

F=\frac{U/n_{1}}{V/n_{2}}

服從自由度為n1及 n2 ?的F分布,n1稱為第一自由度,n2稱為第二自由度。概率密度為

均值

E\left ( y\right ) =\frac{n}{n-2}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, r=1,n>2

方差

D\left ( y\right ) =\frac{2n^{2}\left ( m+n-2 \right )}{m\left ( n-2 \right )^{2}\left ( n-4 \right )}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, n>4

2.7?\Gamma分布

? ? ? ? 假設(shè)隨機(jī)變量X為等到第α件事發(fā)生所需之等候時(shí)間,且每個(gè)事件之間的等待時(shí)間是互相獨(dú)立的,α為事件發(fā)生的次數(shù),β代表事件發(fā)生一次的概率,那么這α個(gè)事件的時(shí)間之和服從伽馬分布。其概率密度函數(shù)為

f\left ( x \right )=\frac{1}{\beta ^{\alpha }\Gamma \left ( \alpha \right )} x^{\alpha -1}e^{-\frac{x}{\beta} }\, \, \, \, \, \, \, \, \, x>0

均值

E\left ( X\right ) =\frac{\alpha }{\beta }

方差

D\left ( X\right ) =\frac{\alpha }{\beta ^{2}}

2.8 瑞利分布

? ? ? ? 當(dāng)一個(gè)隨機(jī)二維向量的兩個(gè)分量呈獨(dú)立的、均值為0,有著相同的方差的正態(tài)分布時(shí),這個(gè)向量的模呈瑞利分布,概率密度為:

f\left ( x \right )=\frac{x}{\sigma ^{2}} e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma ^{2}} }\, \, \, \, \, \, \, \, \, x>0

均值

E\left ( X\right ) =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sigma

方差

D\left ( X\right ) =\frac{4-\pi }{2}\sigma ^{2}

2.9 萊斯分布

? ? ? ? ?瑞利分布考慮的是零均值實(shí)部虛部是獨(dú)立同分布的復(fù)高斯分布,萊斯分布針對(duì)的是一般情況下的模值分布,概率密度函數(shù)為:

f\left ( x \right )=\frac{x}{\sigma ^{2}} e^{-\frac{\left ( x^{2}+s^{2} \right )}{2\sigma ^{2}} }I_{0}\left ( \frac{xs}{\sigma ^{2}} \right )\, \, \, \, \, \, \, \, \, x>0

s^{2}表示直視路徑功率分量,2\sigma ^{2}是非直視路徑功率分量。I_{0}是修正的零階貝塞爾函數(shù)。

I_{0}\left (x \right )=\int_{0}^{2\pi}e^{x \cos\left ( \theta \right )}d\theta

2.10 韋布爾分布

適用于機(jī)電類產(chǎn)品的磨損累計(jì)失效的分布形式。由于它可以利用概率值很容易地推斷出它的,被廣泛應(yīng)用于各種壽命試驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理。概率密度函數(shù):

f\left ( x \right )=\frac{k}{\lambda } \left ( \frac{x}{\lambda } \right )^{k-1}e^{-\left ( x/\lambda \right )^{k}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, x\geq 0

均值

E\left ( X\right ) =\lambda \Gamma \left ( 1+\frac{1}{k} \right )

方差

D\left ( X\right ) =\lambda ^{2}\left [ \Gamma \left ( 1+\frac{2}{k} \right )-\Gamma \left ( 1+\frac{1}{k} \right )^{2} \right ]

2.11?\beta分布

概率密度函數(shù)

f\left ( x \right )=\frac{\Gamma \left ( \alpha +\beta \right )}{\Gamma \left ( \alpha \right ) +\Gamma \left ( \beta \right )} x ^{\alpha -1}\left ( 1-x \right )^{\beta -1}\, \, \, \, \, \, \, \, \, 0<x< 1

均值

E\left ( X\right ) =\frac{\alpha }{\alpha +\beta }

方差

D\left ( X\right ) =\frac{\alpha \beta }{\left ( \alpha +\beta \right )^{2}\left ( \alpha +\beta +1 \right )}

2.12 對(duì)數(shù)正態(tài)分布

概率密度函數(shù)

f\left ( x \right )=\frac{1}{x\ln a\sqrt{2\pi\sigma ^{2}}}e^{-\frac{\left ( \log_{a}x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}}}

均值

E\left ( X\right ) =a^{\mu +\ln a\sigma ^{2}/2}

方差

D\left ( X\right ) =\left ( a^{\ln a\sigma ^{2}} -1\right )a^{2\mu +\ln a\sigma ^{2}}

2.13 柯西分布

概率密度函數(shù)

f\left ( x \right )=\frac{1}{\pi }\left [ \frac{\gamma }{\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\gamma ^{2}} \right ]

均值和方差不存在。

三、性質(zhì)及定理

3.1、均值性質(zhì)

性質(zhì)1:E (C ) = C

性質(zhì)2:E (aX ) = a E (X )

性質(zhì)3:E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )?

性質(zhì)4:當(dāng)X ,Y 相互獨(dú)立時(shí),E (X Y ) = E (X )E (Y )?

性質(zhì)5:設(shè)X 為連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為f (x),Y = g(X ),若廣義積分\int_{-\infty }^{\infty }g\left ( x \right )f\left ( x \right )dx絕對(duì)收斂,則

E\left ( Y \right )=\int_{-\infty }^{\infty }g\left ( x \right )f\left ( x \right )dx

3.2、方差性質(zhì)

性質(zhì)1:若X=C,C為常數(shù),則D(X)=0 .

性質(zhì)2:若b為常數(shù),隨機(jī)變量X的方差存在,則bX的方差存在, 且D(bX) = b2D(X)

性質(zhì)3:若隨機(jī)變量X1, X2, … , Xn 的方差都存在, 則X1+X2+...+Xn的方差存在,且

?

性質(zhì)4:若隨機(jī)變量X1, X2, …, Xn相互獨(dú)立,則

?

性質(zhì)5:有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布

性質(zhì)6:切比雪夫(Chebyshev)不等式

對(duì)隨機(jī)變量X 和任意的\varepsilon >0,有

?

3.3、定理

  • 辛欽大數(shù)定律

? ? ? ?設(shè)X1, X2, …是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且E(Xi)=\mu,i=1, 2,…, 則對(duì)任給 \varepsilon>0,

\lim_{n\rightarrow \infty }P\left \{ \left | \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}-\mu \right |<\varepsilon \right \}=1

辛欽大數(shù)定律為估計(jì)隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.

  • 貝努里大數(shù)定律

? ? ? ? 設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的 次數(shù),p是一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率,則對(duì)任給的ε> 0,

\lim_{n\rightarrow \infty }P\left \{ \left | \frac{S_{n}}{n}-p \right |<\varepsilon \right \}=1

貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法.

  • 中心極限定理

? ? ? ? 設(shè)隨機(jī)序列 {Xj} 獨(dú)立同分布,有共同的數(shù)學(xué)期望 \mu和方差\sigma ^{2}. ? 部分和Sn =X1+ X2+…+ Xn, ?則Sn的標(biāo)準(zhǔn)化

?

依分布收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 即對(duì)任何x,

?

這里\Phi \left ( x \right )是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。對(duì)充分大的n ,部分和Sn =X1+ X2+…+ Xn, ?的概率分布可以用正態(tài)分布

?

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柯西分布_百度百科 (baidu.com)


總結(jié)

本文簡單介紹了自己對(duì)隨機(jī)概念的理解,并簡單列舉了常見的隨機(jī)分布類型。在信號(hào)處理中常用的隨機(jī)信號(hào)模型包括:高斯模型、瑞利模型、萊斯模型等。有更好的內(nèi)容歡迎在評(píng)論區(qū)放置鏈接,另外有問題也歡迎評(píng)論區(qū)留言。轉(zhuǎn)載請附鏈接【楊(_> <_)】的博客_CSDN博客-信號(hào)處理,SAR,代碼實(shí)現(xiàn)領(lǐng)域博主。

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