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news 2025/7/7 18:42:28

日本做暖網(wǎng)站,推廣網(wǎng)站要注意什么,crm軟件哪家好,微信小程序用到的技術(shù)目錄一.初等行/列變換 1.計算行列式時，行列變換都可 2.求矩陣的秩時，行列變換都可 3.解線性方程組時，僅能使用初等行變換 4.判定解的情況，單純求r(A),r(A,b)的過程行列變換都可 5.求向量組極大無關(guān)組、線性表出關(guān)系&#x…

一.初等行/列變換

1.計算行列式時，行列變換都可

2.求矩陣的秩時，行列變換都可

3.解線性方程組時，僅能使用初等行變換

4.判定解的情況，單純求r(A),r(A,b)的過程行列變換都可

5.求向量組極大無關(guān)組、線性表出關(guān)系，則僅行變換

6.求向量組的秩時，行列變換都可

7.求特征值時，行列變換都可

8.求特征向量時，僅做行變換

9.求逆矩陣時，對(A,E)僅做初等行變換

總結(jié)：

?二.要牢記

三.某某子式

1.余子式

2.代數(shù)余子式

3.k階子式

4.k階主子式

5.順序主子式

四.矩陣的秩

五.常用特征值與特征向量

1.矩陣的逆

2.矩陣的伴隨

六.矩陣，向量組，方程組

1.怎么判斷兩個矩陣等價

2.怎么判斷兩個向量組是等價向量組

3.同解方程組

七.齊次線性方程組和非齊次線性方程組

八.對比記憶

九.相似與正交

十.合同

十一.二次型

十二.二次型正定

本節(jié)是線代某些知識點總結(jié)，可能較零碎。

對于簡單的知識點，例如“兩行對應(yīng)成比例，行列式為0"就不講了。暫時不舉例題，有時間會繼續(xù)補(bǔ)充！

一.初等行/列變換

1.計算行列式時，行列變換都可

因為 $D=D^{T}$ ，所以不論動行/列都是等價的。

變換規(guī)則：

1.“倍乘”：行列式的某行(列)乘某個元素k。相應(yīng)的，若行列式中某行(列)元素有公因子k(k≠0)，則k可提到行列式外面，即:

2."互換"：行列式中兩行(列)互換，行列式變號。

3.“倍加”：某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。

2.求矩陣的秩時，行列變換都可

因為初等變換不改變某個矩陣非零子式的最高階數(shù)，秩指的就是非零子式的最高階數(shù)。

初等變換的規(guī)則：

1."倍乘"：一個非零常數(shù)乘矩陣矩陣的某一行(列)。

2."互換"：互換矩陣中某兩行(列)的位置。

3."倍加"：將矩陣的某一行(列)的k倍加到令一行(列)。

注意：

某矩陣乘元素k，是矩陣中的每個元素都成k，要與行列式區(qū)分。

也就是 $|kA|=k^n|A|$ 。

3.解線性方程組時，僅能使用初等行變換

因為矩陣的每一種初等行變換都對應(yīng)著線性方程組的同解變換，而作列變換會改變原來的方程。

4.判定解的情況，單純求r(A),r(A,b)的過程行列變換都可

注：將r(A,b)化行階梯求秩時，往往我們需要同時得到r(A)，如果想用列變換的話，只能對A單獨列變換，千萬不要將b列和A的列混合運算，這樣r(A)就不準(zhǔn)了。(但r(A,b)是準(zhǔn)的)。

但是，如果涉及到求通解或唯一解，那么就只能做行變換化行階梯了，所以建議一開始就只做行變換。

總結(jié)：求解的過程，就只進(jìn)行初等行變換化行階梯求秩，并且順勢化為行最簡型求解。

5.求向量組極大無關(guān)組、線性表出關(guān)系，則僅行變換

因為初等行變換不改變列向量組的線性表出關(guān)系。例如下圖， $\beta$ 矩陣中， $\beta_{3}=\beta_{2} +\beta_{1}$ ， $\alpha$ 矩陣同樣有這樣的關(guān)系。

6.求向量組的秩時，行列變換都可

求向量組的秩，其實最后會轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩，原理就是"矩陣的秩=行向量組的秩=列向量組的秩"，所以求向量組的秩也是行列變換都可。

但是一般求向量組的秩后面會繼續(xù)求解極大無關(guān)組/線性表出關(guān)系，這時只能做行變換，所以還是建議從開頭就只使用行變換。

7.求特征值時，行列變換都可

因為特征多項式本質(zhì)上是行列式，求行列式時，行列都可以換。

8.求特征向量時，僅做行變換

因為求特征向量時，本質(zhì)是在解線性方程組，只能進(jìn)行初等行變換。

9.求逆矩陣時，對(A,E)僅做初等行變換

因為以 $A^{-1}$ 左乘A得到E，以 $A^{-1}$ 左乘E得到 $A^{-1}$ ，以 $A^{-1}$ 左乘的過程就是做初等行變換的過程。

所以怎么體現(xiàn)A和E做了完全一樣的 $A^{-1}$ 所帶來的初等行變換，就是將A，E橫著拼在一起，此時做的初等行變換就是同步的了。

總結(jié)：

除了① 求行列式的值（求特征值本質(zhì)上就是求行列式的值）和 ② 單純求秩，行列變換都可，其余情況通通只做行變換。

?二.要牢記

先寫那么多，后面有再補(bǔ)充：

一些推導(dǎo)：

對于AB ≠ BA的補(bǔ)充：

三.某某子式

1.余子式

在n階行列式中，去掉元素a所在的第i行、第j列元素，由剩下的元素按原來的位置與順序組成的n-1階行列式稱為元素a的余子式，記作 $M_{ij}$ 。

2.代數(shù)余子式

余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 后稱為a的代數(shù)余子式，記作A $A_{ij}$

3.k階子式

給定一個矩陣，任取k行，任取k 列，共 $k^{2}$ 個數(shù)構(gòu)成的行列式，出現(xiàn)在矩陣的秩中，定義如下：

設(shè)A是mxn矩陣，則若存在k階子式不為零，而任意k+1階子式(如果有的話)全為零，則r(A)=k，且若A為nxn矩陣，則：

4.k階主子式

指在行列式中選k行k列，但要求行和列的下標(biāo)相同。如：行為r1、r2、r3，列必須為c1、c2、c3；行為r2、r3、r5，列必須為c2、c3、c5。因此，k階主子式不唯一。

這在矩陣相似會用到，下面會講。

5.順序主子式

順序主子式是在主子式上再加限定，順序主子式是由 1~k?行和 1~k?列所確定的子式。

例如：

1階時：取第1行，第1列

2階時：取第1、2行，第1、2列

3階時：取第1、2、3行，第1、2、3列

4階時：取第1、2、3、4行，第1、2、3、4列

實際上，主子式的主對角線元素是原 n 階行列式的主對角線元素的一部分，且順序相同。

所以k?階主子式是不唯一的，而 k 階順序主子式是唯一的。

用在判斷二次型正定上，下面會講。

四.矩陣的秩

?①?0 <= r(A) <= min{m,n}

② r(kA)=r(A)(k ≠ 0)

③ r(AB) <= min{r(A),r(B)}

④ r(A+B) <=r(A)+r(B)

⑤?

r(A)=n-1,r(A*)=1的證明：

進(jìn)而可得出一個重要結(jié)論：

$A_{m*n}B_{n*s}=0$ ，則r(A)+r(B)<=n

⑥ 設(shè)A是m*n矩陣，P,Q分別是m階，n階可逆矩陣，則

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

⑦ r(A)= $r(A^{T})$ =r( $AA^{T}$ )=r( $A^{T}A$ )

五.常用特征值與特征向量

六

1.矩陣的逆

除了一般公式，矩陣的逆和伴隨：

推導(dǎo)如下：

2.矩陣的伴隨

六.矩陣，向量組，方程組

矩陣，向量組

① 向量組是由有限個相同維數(shù)的行向量或者列向量組成，其中向量是由n個實數(shù)組成的有序數(shù)組,是一個n*1的矩陣(n維列向量)或是一個1*n的矩陣(n維行向量)。

?② 矩陣是由m*n個數(shù)排列成m行n列的數(shù)表。

一個向量組可以看作是一個矩陣的列（或行）向量集合。如果一個矩陣有n列，那么這n列就可以看作是一個由n個向量組成的向量組。反過來，一個矩陣也可以看作是由其列（或行）向量組成的向量組。

1.怎么判斷兩個矩陣等價

矩陣等價的前提：A與B是同型矩陣，即A,B行數(shù)，列數(shù)相同

矩陣等價的充要條件：

① r(A)=r(B)

② PAQ=B，P,Q可逆

2.怎么判斷兩個向量組是等價向量組

向量組等價的前提：A，B矩陣同維

若r( Ⅰ )=r( $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ....)? r(Ⅱ)=r( $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ ....)? ? ? ?

向量組等價的充要條件：
① r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表出（單向表出即可）

②?r(Ⅱ)=r(Ⅰ)，且(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表出（單向表出即可）

③?r( $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ....)?=r( $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ ....)? =r( $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ..., $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ ...)，即

r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)

④ Ⅰ和Ⅱ能夠相互線性表示。

總結(jié)：
① 兩個矩陣A與B等價指的是A可以通過有限次初等變換變成B。兩個不同型矩陣是不可能等價
鄉(xiāng)
② 兩個向量組等價只指的是它們能夠互相線性表示，它們各自所含向量的個數(shù)可能是不一樣的。

例題：

D.即使Ⅰ 和 Ⅱ 同為n維向量組，但是s與t的關(guān)系未知，也就是行數(shù)相等，列數(shù)未知，所以A，B兩個矩陣可能不同型，不能等價。

B.(Ⅰ)可由（Ⅱ）表示，缺少其他條件，如果① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表出或者② r(Ⅰ)=r(Ⅱ)就對了

C正確

D r(A)=r(B)，只能推出兩個向量組秩相同，缺少其他條件，如果加上① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表出或者②加上(Ⅰ )可由(Ⅱ)線性表出或者③?r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)，就對了。

3.同解方程組

若兩個方程組 $A_{m*n}x=0$ 與 $B_{s*n}x=0$ 有完全相同的解，則稱它們?yōu)橥夥匠探M

充要條件：

①??Ax=0的解滿足Bx=0，且Bx=0的解滿足Ax=0(互相把解代入求出結(jié)果即可)

② r(A)=r(B)，且Ax=0的解滿足Bx=0(或Bx=0的解滿足Ax=0)

③ r(A)=r(B)=r( $\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}$ )(三秩相同)

例1：

例2：

七.齊次線性方程組和非齊次線性方程組

齊次線性方程組有解的條件：

① r(A)=n時，方程組有唯一零解。

② r(A)=r<n時，方程組有非零解（無窮多解），且有n-r個線性無關(guān)解

齊次方程組其實就是解和系數(shù)的正交，例如，給你一個條件：

$\alpha_{1}=2\alpha_{2} +\alpha_{3}$ ----> $\alpha_{1}-2\alpha_{2} -\alpha_{3}+0 \alpha_{4} =0$

則(1 -2 -1 0)就是齊次方程組的基礎(chǔ)解系

非齊次線性無關(guān)組有解的條件：

① 若r(4)≠r([A,b])，則方程組無解；
② 若r(A)=r([A,b])=n，則方程組有唯一解；
③ r(A)=r([A,b])=r<n，則方程組有無窮多解。

非齊次方程組的通解的求法：

①求Ax=0的解

② 求Ax=b的一個特解

③ 非齊次方程組的通解=齊次方程組的解+一個非齊次的特解

如果A行滿秩，則r(A)=r(A|b)，那么方程組一定有解。

如果A列滿秩，則r(A)與r(A|b)的關(guān)系不確定：

①?r(A)<r(A|b)，則無解

②?r(A)=r(A|b)<n，有無窮多解

③?r(A)=r(A|b)=n，有唯一解

八.對比記憶

矩陣A的tr(A)：tra(A)=矩陣A的跡=對角線元素之和

2.對于秩為1的n階矩陣A或A= $\alpha \beta ^{T}$ (或 $\beta ^{T}\alpha$ )（a,β都是n維非零列向量），其特征值為 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} ....\lambda_{n-1}$ =0， $\lambda _{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\beta^{T} \alpha$ （或 $\alpha^{T} \beta$ ）?

例題1：

例題2：

九.相似與正交

存在n階可逆矩陣P，使得 $P^{-1}AP=B$ ,則稱A相似于B，記為A~B

若A~B

① |A|=|B|

② r(A)=r(B)

③ tr(A)=tr(B)

④? $\lambda _{A}=\lambda _{B}$ （ $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ ）

⑤ $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$

⑥ A，B各階主子式之和分別相同

那么怎么判定矩陣相似呢？

① 定義法

存在n階可逆矩陣P，使得 $P^{-1}AP=B$

② 傳遞法

A~ $\Lambda$ ， $\Lambda$ ~B，則A~B，其中 $\Lambda$ 為對角陣

這就要說到矩陣的相似對角化

矩陣可相似對角化的條件：

充要條件：

①?n階矩陣A可相似對角化?有n個線性無關(guān)的特征向量。

② n階矩陣A可相似對角化?A對應(yīng)于每個k重特征值都有k個線性無關(guān)的特征向量

必要條件：

③ n階矩陣A有n個不同特征值→A可相似對角化

④ n階矩陣為實對稱矩陣→A可相似對角化

對于矩陣相似對角化的步驟：

① 求特征值

② 求特征向量

③ 正交化（如果需要的話），單位化 $\eta_{1} \eta_{2} \eta_{3}.... \eta_{n}$

④ 令Q=[ $\eta_{1} \eta_{2} \eta_{3}.... \eta_{n}$ ],則Q為正交矩陣，且 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

上面提到了實對稱矩陣，實對稱矩陣就是組成A的元素都是實數(shù)。對于實對稱矩陣（ $A^T=A$ ）要記住：

對于正交，你需要記住：
①? $\alpha ^{T} \beta =0$ ，則 $\alpha$ ， $\beta$ 是正交向量

② 若滿足 $A^{T}A=E$ ，則A是正交矩陣

$A^{T}A=E$ ? $A^{-1}=A^{T}$

例題：

矩陣相似還可得出：

① A~B， $A^{k}=B^{k}$ ，f(A)=f(B)

② 若A~B，且A可逆，則 $A^{-1}$ ~ $B^{-1}$ ，f( $A^{-1}$ )=f( $B^{-1}$ )

③ 若A~B， $A^*$ ~ $B^*$

④?若A~B， $A^T$ ~ $B^T$

注：?

十.合同

設(shè)A，B為n階矩陣，若存在可逆矩陣C，使得 $C^TAC=B$ ，則稱A與B合同，即 $A\cong B$ 。A與B合同，就是指同一個二次型在可逆線性變換下的兩個不同狀態(tài)的聯(lián)系。

A與B合同的充要條件：正慣性性指數(shù)(p)等于負(fù)慣性指數(shù)(q)

① pA=PB，且qA=qB

②?pA=PB，且r(A)=r(B)

③?qA=qB，且r(A)=r(B)

注：由于我們已經(jīng)規(guī)定，對稱矩陣才是二次型矩陣，所以二次型矩陣都是對稱矩陣，相應(yīng)的和對稱矩陣合同的矩陣也是對稱矩陣。

十一.二次型

關(guān)于二次型化標(biāo)準(zhǔn)型或規(guī)范型的方法：配方法，正交變化有總結(jié)如下：

這里記錄一個例題：

十二.二次型正定

二次型正定的充要條件：
n元二次型 $f=x^{T}Ax$ 正定?對任意x≠0，有 $x^{T}Ax$ >0（定義）

① ?f的正慣性指數(shù)p=n

② ?存在可逆矩陣D，使得 $A=D^{T}D$

③ ? $A\cong E$ ，A與E合同

② ③推導(dǎo)：

?

④?A的特征值 $\lambda$ >0

⑤?A的全部順序主子式>0

二次型正定的必要條件：

① $a_{ii}$ >0，對角線元素全部大于0

② |A|>0