系列文章 分享?模型，了解更多👉?模型_思維模型目錄。隨機(jī)世界的規(guī)律，大自然里的鐘形曲線。

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1 正態(tài)分布的應(yīng)用

1.1 質(zhì)量管理之六西格瑪

六西格瑪是一種旨在通過(guò)識(shí)別和消除缺陷原因來(lái)提高制造過(guò)程或業(yè)務(wù)流程質(zhì)量的管理策略。我們先來(lái)了解下六西格瑪相關(guān)的基本概念：

• 西格瑪?shù)燃?jí)：西格瑪?shù)燃?jí)是一個(gè)衡量過(guò)程能力的指標(biāo)，表示缺陷率的多少。一個(gè)過(guò)程的西格瑪?shù)燃?jí)越高，其缺陷率越低。
• 缺陷：在六西格瑪中，缺陷是指任何不符合規(guī)格的產(chǎn)品或服務(wù)。
• 過(guò)程能力：指一個(gè)過(guò)程在沒(méi)有特殊原因影響下，能夠持續(xù)生產(chǎn)符合規(guī)格要求的產(chǎn)品或服務(wù)的能力。

接下來(lái)說(shuō)明下正態(tài)分布與六西格瑪?shù)年P(guān)系：

• 在六西格瑪中，假設(shè)大多數(shù)過(guò)程的輸出是正態(tài)分布的。這意味著過(guò)程的輸出變量（如產(chǎn)品尺寸、重量等）會(huì)圍繞均值對(duì)稱分布，并且大部分輸出值會(huì)集中在均值附近。
• 利用正態(tài)分布的特性，六西格瑪方法可以預(yù)測(cè)和控制過(guò)程的缺陷率。例如，如果一個(gè)過(guò)程的輸出是正態(tài)分布的，那么大約99.73%的產(chǎn)品將位于均值的±3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。

這里給出一個(gè)六西格瑪方法的使用案例，便于深入理解該方法。假設(shè)一個(gè)制造過(guò)程生產(chǎn)的小部件的尺寸是關(guān)鍵的質(zhì)量指標(biāo)，該尺寸服從正態(tài)分布。通過(guò)測(cè)量和分析，我們知道部件的尺寸均值為100毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為1毫米。

• 過(guò)程能力分析：使用正態(tài)分布的特性，我們可以計(jì)算出在均值±3σ（簡(jiǎn)單理解為誤差±3毫米）范圍內(nèi)的部件比例，這將幫助我們了解過(guò)程的穩(wěn)定性和一致性。
• 缺陷預(yù)防：如果我們?cè)O(shè)定規(guī)格限為98毫米到102毫米，那么任何超出這個(gè)范圍的部件都被視為缺陷。通過(guò)正態(tài)分布，我們可以預(yù)測(cè)大約有多少部件會(huì)超出規(guī)格限，從而采取措施減少這些缺陷。
• 持續(xù)改進(jìn)：通過(guò)收集數(shù)據(jù)和分析過(guò)程輸出的分布，六西格瑪團(tuán)隊(duì)可以識(shí)別導(dǎo)致缺陷的潛在原因，并采取措施來(lái)減少變異，提高過(guò)程的西格瑪?shù)燃?jí)。

六西格瑪方法強(qiáng)調(diào)使用數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)工具來(lái)驅(qū)動(dòng)決策，正態(tài)分布在這一過(guò)程中發(fā)揮了核心作用，幫助組織實(shí)現(xiàn)更高的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和更低的缺陷率。

1.2 風(fēng)險(xiǎn)管理中的VaR估算（通俗解讀）

你是一個(gè)小島國(guó)的財(cái)務(wù)顧問(wèn)，這個(gè)國(guó)家有一個(gè)由500個(gè)當(dāng)?shù)刈畲笃髽I(yè)組成的股票市場(chǎng)指數(shù)，我們稱之為“小島500指數(shù)”。這個(gè)指數(shù)類似于現(xiàn)實(shí)世界中的S&P 500指數(shù)。作為財(cái)務(wù)顧問(wèn)，你的任務(wù)是幫助島上的居民了解他們的投資可能面臨的風(fēng)險(xiǎn)。

首先，你需要向居民解釋什么是VaR。你可以這樣描述：“VaR就像是一個(gè)天氣預(yù)報(bào)，告訴我們?cè)诖蠖鄶?shù)情況下，我們可能會(huì)遇到的最大風(fēng)暴（損失）。但就像天氣有時(shí)會(huì)出乎意料一樣，VaR并不保證損失不會(huì)超過(guò)預(yù)報(bào)的數(shù)額。”

接下來(lái)，你開(kāi)始收集過(guò)去幾年“小島500指數(shù)”的每日價(jià)格變動(dòng)數(shù)據(jù)。這就像是記錄每天的天氣變化，以便我們可以預(yù)測(cè)未來(lái)的天氣模式。我們使用正態(tài)分布估算VaR：

1. 計(jì)算平均收益：你計(jì)算了這段時(shí)間內(nèi)指數(shù)的平均每日收益，假設(shè)是0.05%。
2. 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：接著，你計(jì)算了收益的標(biāo)準(zhǔn)差，這是衡量收益波動(dòng)大小的指標(biāo)，假設(shè)是1%。
3. 確定置信水平：你告訴居民，你將使用95%的置信水平來(lái)計(jì)算VaR，這意味著在95%的交易日里，損失不會(huì)超過(guò)你計(jì)算出的數(shù)額。

于是開(kāi)始使用正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)計(jì)算VaR，流程如下：

1. 使用正態(tài)分布：你假設(shè)指數(shù)的收益遵循正態(tài)分布，這是一個(gè)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)分布，形狀像一個(gè)鐘形曲線。
2. 查找Z-分?jǐn)?shù)：在95%的置信水平下，你查找到對(duì)應(yīng)的Z-分?jǐn)?shù)，這是正態(tài)分布表中的一個(gè)數(shù)值，用來(lái)確定損失超過(guò)多少標(biāo)準(zhǔn)差。
3. 計(jì)算VaR：使用以下公式計(jì)算VaR：?VaR=平均收益?(Z-分?jǐn)?shù)×標(biāo)準(zhǔn)差)VaR=平均收益?(Z-分?jǐn)?shù)×標(biāo)準(zhǔn)差)?假設(shè)Z-分?jǐn)?shù)是1.65，代入數(shù)字得到：?VaR=0.0005%?(1.65×0.01)=?1.645%VaR=0.0005%?(1.65×0.01)=?1.645%?這意味著在95%的交易日里，指數(shù)的每日損失不會(huì)超過(guò)1.645%。

你向島上的居民解釋說(shuō)：“根據(jù)我們的計(jì)算，如果你們投資了‘小島500指數(shù)’，那么在95%的交易日里，你們的最大損失可能不會(huì)超過(guò)1.645%。這就像我們告訴你們，95%的時(shí)間里，風(fēng)暴的強(qiáng)度不會(huì)超過(guò)這個(gè)級(jí)別?！?/p>

居民們現(xiàn)在對(duì)可能面臨的投資風(fēng)險(xiǎn)有了更好的理解，并且可以根據(jù)這個(gè)信息做出更明智的投資決策。當(dāng)然，你也提醒他們，這只是一個(gè)估計(jì)，實(shí)際損失有時(shí)會(huì)超出這個(gè)范圍，就像偶爾也會(huì)有意外的大風(fēng)暴一樣。

以上就是形象的解讀VaR概念以及它在評(píng)估投資風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用。

1.3 正態(tài)分布優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之激活函數(shù)

正態(tài)分布在人工智能（AI）領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛，其中一個(gè)具體的應(yīng)用案例是在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的激活函數(shù)。激活函數(shù)（形象解讀激活函數(shù)：它就像神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的交通信號(hào)燈，它告訴網(wǎng)絡(luò)在何時(shí)“通行”（激活神經(jīng)元）或“停止”（抑制激活）。不同類型的激活函數(shù)就像不同的信號(hào)燈模式，有的快速反應(yīng)（ReLU），有的平滑過(guò)渡（Sigmoid），確保信息流在網(wǎng)絡(luò)中高效有序地傳遞）是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的基本構(gòu)件，用于在神經(jīng)元之間引入非線性，使得網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)和模擬復(fù)雜的函數(shù)映射。正態(tài)分布，特別是其變體，如高斯分布，可以作為激活函數(shù)的一種選擇。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的上下文中，正態(tài)分布可以用于模擬數(shù)據(jù)的分布，幫助網(wǎng)絡(luò)更好地適應(yīng)輸入數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性。例如，如果輸入數(shù)據(jù)的分布接近正態(tài)分布，使用正態(tài)分布作為激活函數(shù)可以提高網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)據(jù)的擬合能力（就像是一位畫(huà)家在畫(huà)布上模仿自然風(fēng)景。如果畫(huà)家技藝高超，他畫(huà)的畫(huà)就能非常接近真實(shí)的風(fēng)景，細(xì)節(jié)豐富，色彩逼真。在這里，畫(huà)家的技藝相當(dāng)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力，而畫(huà)布上的作品則相當(dāng)于網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。提高擬合能力意味著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠更準(zhǔn)確地捕捉和再現(xiàn)數(shù)據(jù)的特征，就像畫(huà)家能更精確地復(fù)制自然景觀一樣）。此外，正態(tài)分布的數(shù)學(xué)特性，如其平滑性和可微性，使其在梯度下降等優(yōu)化算法中表現(xiàn)良好，有助于網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程。

1.4 正態(tài)分布在生化檢驗(yàn)中的應(yīng)用

生化檢驗(yàn)是利用生物或化學(xué)方法對(duì)各項(xiàng)人體指標(biāo)進(jìn)行檢查化驗(yàn)，例如肝功能、血脂、血糖等。在這些檢驗(yàn)中，很多指標(biāo)如血糖、甘油三酯、血紅蛋白、紅細(xì)胞數(shù)、白細(xì)胞以及血小板等的頻數(shù)呈現(xiàn)正態(tài)分布規(guī)律。

這種正態(tài)分布規(guī)律的發(fā)現(xiàn)對(duì)于生化檢驗(yàn)具有重要的實(shí)際價(jià)值，因?yàn)樗梢詭椭t(yī)生更準(zhǔn)確地評(píng)估檢驗(yàn)結(jié)果，確定正常范圍，并為臨床診斷提供有力的數(shù)據(jù)支撐。

例如，當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果顯示某項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)值高于或低于正常范圍時(shí)，這可能表明人體出現(xiàn)了不同程度的異常。通過(guò)測(cè)定血清天冬氨酸氨基轉(zhuǎn)移酶這一指標(biāo)，如果生化檢驗(yàn)結(jié)果偏高，則可能與心肌梗塞、中毒性肝炎等病癥相關(guān)。

因此，正態(tài)分布在生化檢驗(yàn)中的應(yīng)用，不僅有助于醫(yī)學(xué)參考值范圍的制定，還能在質(zhì)量控制、試驗(yàn)設(shè)計(jì)和結(jié)果分析等方面發(fā)揮重要作用。

1.5 正態(tài)分布在教育領(lǐng)域考試結(jié)果分析中的應(yīng)用

某市的重點(diǎn)高中在一次期末考試后，對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。這所高中以其高標(biāo)準(zhǔn)和嚴(yán)格的教學(xué)方法而聞名。學(xué)校收集了所有參加期末考試的高二學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)，共計(jì)300名學(xué)生。對(duì)其進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，具體如下：

1. 數(shù)據(jù)整理：學(xué)校將成績(jī)數(shù)據(jù)錄入統(tǒng)計(jì)軟件，并計(jì)算了成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。
2. 分布形態(tài)：通過(guò)繪制成績(jī)的直方圖，學(xué)校發(fā)現(xiàn)成績(jī)分布呈現(xiàn)出明顯的右偏態(tài)（正偏態(tài)），即大部分學(xué)生的成績(jī)集中在高分區(qū)域，而低分區(qū)域的成績(jī)較少。

通過(guò)正態(tài)分布的應(yīng)用發(fā)現(xiàn)：

1. 偏態(tài)分布特征：分析結(jié)果顯示，成績(jī)的均值為92分，標(biāo)準(zhǔn)差為8分，但成績(jī)的分布并不是對(duì)稱的，而是向右偏斜，表明高分學(xué)生較多。
2. 成績(jī)區(qū)間預(yù)測(cè)：盡管成績(jī)分布不是正態(tài)分布，學(xué)校仍使用正態(tài)分布理論來(lái)估計(jì)不同成績(jī)區(qū)間的學(xué)生比例，發(fā)現(xiàn)超過(guò)70%的學(xué)生成績(jī)高于84分（均值加一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差）。
3. 教學(xué)效果評(píng)估：由于成績(jī)分布的偏態(tài)，學(xué)校意識(shí)到可能存在“天花板效應(yīng)”，即考試難度不足以區(qū)分高水平學(xué)生之間的差異。
4. 考試難度調(diào)整：學(xué)校發(fā)現(xiàn)考試內(nèi)容可能過(guò)于簡(jiǎn)單，導(dǎo)致大部分學(xué)生都能輕易獲得高分，這可能掩蓋了學(xué)生之間真實(shí)的能力差異。

呈現(xiàn)的結(jié)果與影響：

• 考試內(nèi)容調(diào)整：學(xué)校決定在未來(lái)的考試中增加難度，以更好地區(qū)分學(xué)生的不同能力水平。
• 教學(xué)方法改進(jìn)：學(xué)校意識(shí)到需要調(diào)整教學(xué)方法，以確保所有學(xué)生都能在更高難度的考試中表現(xiàn)出色。
• 學(xué)生能力識(shí)別：學(xué)校利用偏態(tài)分布的分析結(jié)果來(lái)識(shí)別那些在高難度問(wèn)題上表現(xiàn)出色的學(xué)生，并為他們提供更高級(jí)的課程和挑戰(zhàn)。

這次期末考試的成績(jī)分析揭示了考試內(nèi)容和教學(xué)方法可能需要改進(jìn)的地方。雖然成績(jī)的偏態(tài)分布不是理想的正態(tài)分布，但它為學(xué)校提供了寶貴的信息，幫助學(xué)校更好地理解學(xué)生的表現(xiàn)，并據(jù)此做出相應(yīng)的教學(xué)和考試調(diào)整。

2 模型 正態(tài)分布

2.1 什么是正態(tài)分布？

正態(tài)分布，也稱為高斯分布（Gaussian distribution），是一種在統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常重要的連續(xù)概率分布。它具有以下特征：

1. 對(duì)稱性：正態(tài)分布是對(duì)稱的，其均值（mean）、中位數(shù)（median）和眾數(shù)（mode）相同。
2. 鐘形曲線：正態(tài)分布的圖形呈現(xiàn)為一個(gè)鐘形曲線，兩側(cè)逐漸向X軸下降。
3. 均值和標(biāo)準(zhǔn)差：正態(tài)分布完全由其均值（μ）和標(biāo)準(zhǔn)差（σ）確定。均值是分布的中心位置，標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)的分散程度。
4. 68-95-99.7規(guī)則：在正態(tài)分布中，大約68%的數(shù)據(jù)位于均值±1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，95%的數(shù)據(jù)位于均值±2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，99.7%的數(shù)據(jù)位于均值±3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)。

正態(tài)分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

正態(tài)分布最早由德國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家莫里茨·卡爾·弗里德里?！け敬?#xff08;Moritz Carl Friedrich Benz）在1810年或1811年提出，但并未得到廣泛認(rèn)可。后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家卡爾·弗里德里?！じ咚?#xff08;Carl Friedrich Gauss）在1812年左右獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了這一分布，并將其應(yīng)用于天文學(xué)中最小二乘法的誤差分析。由于高斯在科學(xué)界的巨大影響力，這一分布最終以他的名字命名為高斯分布。

正態(tài)分布在19世紀(jì)由比利時(shí)數(shù)學(xué)家昆特萊特（Adolphe Quetelet）進(jìn)一步推廣到社會(huì)和自然科學(xué)領(lǐng)域。昆特萊特發(fā)現(xiàn)，許多自然和社會(huì)科學(xué)現(xiàn)象的測(cè)量結(jié)果都呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特性。

正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論中的重要性，使得它成為許多統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)，如假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析、抽樣分布等。

2.2 為什么會(huì)有正態(tài)分布？

正態(tài)分布在自然界和社會(huì)現(xiàn)象中的普遍性可以通過(guò)多種理論來(lái)解釋。以下是一些可能的原因，這些原因?qū)е铝苏龖B(tài)分布的普遍性：

• 中心極限定理：這是正態(tài)分布普遍性的最主要原因之一。根據(jù)中心極限定理，如果多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和（無(wú)論這些變量本身遵循什么分布）的樣本量足夠大，它們的分布將趨近于正態(tài)分布。這意味著即使原始數(shù)據(jù)不遵循正態(tài)分布，它們的平均值或總和往往也會(huì)呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特性。
• 測(cè)量誤差：在許多情況下，觀測(cè)到的變量可能受到多種小的、隨機(jī)的測(cè)量誤差的影響。這些小誤差的疊加往往會(huì)導(dǎo)致正態(tài)分布。
• 自然選擇和進(jìn)化：在生物學(xué)中，自然選擇可能導(dǎo)致某些特征（如身高、體重）在種群中呈現(xiàn)出正態(tài)分布，因?yàn)闃O端值可能不利于生存和繁殖。
• 經(jīng)濟(jì)和社會(huì)因素：在經(jīng)濟(jì)和社會(huì)現(xiàn)象中，多種因素的相互作用可能導(dǎo)致結(jié)果的分布趨于正態(tài)。例如，收入水平可能受到教育、工作經(jīng)驗(yàn)、地理位置等多種因素的影響，這些因素的綜合作用可能導(dǎo)致收入分布接近正態(tài)。
• 大數(shù)定律：大數(shù)定律指出，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的分布將趨近于總體均值的分布。如果總體分布本身是正態(tài)的，那么樣本均值的分布也將是正態(tài)的。
• 物理過(guò)程：在物理學(xué)中，許多自然過(guò)程（如分子的熱運(yùn)動(dòng)）可以產(chǎn)生正態(tài)分布的結(jié)果。例如，氣體分子的速度分布遵循麥克斯韋-波爾茲曼分布，這是一種正態(tài)分布的特例。
• 心理學(xué)因素：在心理學(xué)中，人們的感知和判斷往往受到多種因素的影響，這些因素的綜合作用可能導(dǎo)致某些心理測(cè)量結(jié)果呈現(xiàn)出正態(tài)分布。
• 統(tǒng)計(jì)假設(shè)：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布經(jīng)常被用作分析的假設(shè)前提，因?yàn)樵S多統(tǒng)計(jì)方法（如線性回歸、ANOVA等）在正態(tài)分布的假設(shè)下具有最佳性能。
• 數(shù)據(jù)生成過(guò)程：在某些情況下，數(shù)據(jù)生成過(guò)程本身可能就會(huì)產(chǎn)生正態(tài)分布的結(jié)果。例如，某些化學(xué)反應(yīng)的速率可能遵循正態(tài)分布。
• 抽樣分布：在抽樣調(diào)查中，如果樣本是從正態(tài)分布的總體中抽取的，那么樣本均值的分布也將是正態(tài)的，即使樣本量不大。

這些原因中的一些是統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論的理論結(jié)果，而另一些則是對(duì)自然界和社會(huì)現(xiàn)象的觀察和解釋。正態(tài)分布的普遍性是這些因素共同作用的結(jié)果。

3 模型簡(jiǎn)圖

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