• 如果您想了解更多信息，請(qǐng)查看第 2?部分和第?3 部分。

一、說明

????????這是第一篇文章，我將幫助您獲得如何使用這個(gè)新的強(qiáng)大工具來解決金融中的半分析問題并取代您的蒙特卡洛方法的直覺。

????????我們都知道并喜歡蒙特卡洛數(shù)字積分方法，但是如果我告訴你你可以用虛數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)來代替蒙特卡洛呢？
????????主要好處是速度，這在期權(quán)定價(jià)中非常重要。這非常重要，因?yàn)橛糜诙▋r(jià)股票期權(quán)的赫斯頓模型需要數(shù)字積分，蒙特卡羅大約需要 100 毫秒，傅里葉級(jí)數(shù)需要幾毫秒。

二、第 1 部分：但是什么是傅里葉級(jí)數(shù)？

????????對(duì)于任何函數(shù)?f 和區(qū)間 a，b，我們可以將?f（x）?近似為余弦和正弦的無限和，L =?b-a。

三、第 2 部分：將數(shù)學(xué)公式應(yīng)用于 Python

def get_fourier_approx(f, x:np.array, a:float, b:float, N:int):fa = lambda x, n : f(x) * cos((2*pi*n*x)/(b - a))fb = lambda x, n : f(x) * sin((2*pi*n*x)/(b - a))A0 = 1/(b - a) * quad(f, a, b, limit=200)[0]Cosine_Sine_Sum = np.zeros_like(x)for n in range(1, N+1):A = 2/(b - a) * quad(fa, a, b, args=(n), limit=200)[0]B = 2/(b - a) * quad(fb, a, b, args=(n), limit=200)[0]Cosine_Sine_Sum += A*cos((2*pi*n*x)/(b - a)) + B*sin((2*pi*n*x)/(b - a))fx = A0 + Cosine_Sine_Sumreturn fx

a = -6
b = 6
x = np.linspace(a, b, 1_000)
y = f(x)fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, figsize=(20,12))
blue_shades = ['#0000FF', '#3399FF', '#66B2FF', '#99CCFF', '#CCE5FF']avg_residuals = []
Ns = [8, 16, 32, 64, 128]
for i, N in enumerate(Ns):fx = get_fourier_approx(f=f, x=x, a=a, b=b, N=N)ax1.plot(x,fx, blue_shades[i], label=f'N = {N}')ax2.plot(x,y-fx, blue_shades[i], label=f'N = {N}')avg_residuals.append(np.abs(y-fx).mean())ax1.set_title('Fourier Transform of f(x)')
ax1.plot(x,y,'tab:red', linestyle='--')
ax2.set_title('Residuals')
plt.tight_layout() ; ax1.legend();ax2.legend() ; plt.show()pd.Series(avg_residuals, index=Ns, name='Avg Residual')

3.1 方形功能：

來源：筆記本

N      Avg. Residual
--------------------
8      1.311711
16     0.784683
32     0.440387
64     0.268449
128    0.154604

3.2 線路功能：

來源：筆記本

N      Avg. Residual
--------------------
8      0.447389
16     0.264635
32     0.153540
64     0.088745
128    0.052147

3.3 正態(tài)分布

• 在 [0， 12] 中縮放 y，其中：
  - 平均值 = 100- 標(biāo)準(zhǔn) = 0.1 *sqrt（5）*100- a = 100 -12 * 標(biāo)準(zhǔn)
  - b = 100
  
  +12 * 標(biāo)準(zhǔn)

來源：筆記本

N      Avg. Residual
--------------------
8      1.092374e-01
16     8.326020e-05
32     6.878539e-14
64     5.721031e-14
128    5.170898e-14

3.3 議論

1. 所有分布都按比例縮放，使 y 范圍從 [0,12] 開始，因此我們可以比較殘差的大小。
2. 從繪圖和殘差可以看出，函數(shù)的曲線越大，傅里葉級(jí)數(shù)收斂到正確值的速度就越快。我們將此屬性用作正態(tài)，并且對(duì)數(shù)正態(tài)不需要很多項(xiàng)來計(jì)算，在我們的近似中具有足夠的準(zhǔn)確性。
3. 數(shù)據(jù)開頭和結(jié)尾的誤差明顯更高。因此，最好包含比預(yù)期使用的限制更高的限制。例如，當(dāng)您需要 ±4 時(shí)計(jì)算 ±3std。這使得深度價(jià)外期權(quán)更難計(jì)算。

四、第3部分??S（T）的對(duì)數(shù)正態(tài)分布

????????S_T遵循 Q 下的簡(jiǎn)單 GBM，我們可以使用以下等式推導(dǎo)出S_T的概率密度：

????????現(xiàn)在我們可以使用以下函數(shù)在 Python 中定義 f（S_T），并將下限定義為 （ 0， S_0*exp（r*T） + 12 * sigma*sqrt（T）*S_0 ）

S0      = 100
r       = 0.05
sigma   = 0.1
T       = 5.0Z = lambda St : np.where(St > 0, ((log(St/S0) - (r - .5*sigma)*T)/(sqrt(T)*sigma)), -np.inf)
f = lambda x : norm.pdf(Z(x))a   = S0*exp(r*T) - 12 * sigma*sqrt(T)*S0
b   = S0*exp(r*T) + 12 * sigma*sqrt(T)*S0

Source:?Notebook

N       Avg. (scaled) Residual      Avg. Residual       Execution Time (sec)
----------------------------------------------------------------------------
8       0.176429                    5.880975e-03        0.112720
16      0.004235                    1.411566e-04        0.246473
32      0.000030                    9.855127e-07        0.624209
64      0.000027                    8.918504e-07        1.936948
128     0.000026                    8.530034e-07        6.741019

4.1 言論：

1. 我包括了縮放和非縮放殘差?？s放殘差對(duì)應(yīng)于（不正確的）縮放概率，使得 max{y}=12，其中（正確的）非縮放，max{y}=0.4。這樣做是為了將對(duì)數(shù)正態(tài)分布的擬合與上面繪制的其他函數(shù)進(jìn)行比較。
2. 我們可以推斷出，由于形狀不對(duì)稱，對(duì)數(shù)正態(tài)分布比正態(tài)分布更難擬合。
3. 我們可以看到，在非縮放版本中有 64 項(xiàng)，計(jì)算 P（S_T=x） 的預(yù)期誤差非常小，小于 0.0001%。
4. 將分布集中在 T 處的期望值周圍非常重要，12stds 左右對(duì)稱。?我做了一個(gè)版本，其中a和b不對(duì)稱，殘差不均勻分布。直覺上，你會(huì)采取 a=0+，但它不會(huì)產(chǎn)生理想的結(jié)果。*S_T殘差是針對(duì) S_T>0 的值計(jì)算的，因?yàn)檫@是不可能的，我們不關(guān)心小于 0 的值。

a=1e-8 的S_T密度，在殘差處表現(xiàn)出不良性質(zhì)。來源：筆記本

4.2 限制 — 缺點(diǎn) — 改進(jìn)：

1. 將前面提到的任何函數(shù)近似為傅里葉級(jí)數(shù)并使用數(shù)值積分作為計(jì)算 An 和 Bn 的手段沒有任何好處。
2. 分析計(jì)算 An 和 Bn 系數(shù)非常重要，因此唯一的數(shù)值部分是計(jì)算序列。
3. 好處在別處。當(dāng)f（x）沒有顯式形式并且需要數(shù)值積分時(shí)，我們可以用特征函數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)半解析地解決問題。
4. 如果我們?cè)?Python 中使用 scipy.norm 為帶有標(biāo)準(zhǔn) BS 的選項(xiàng)定價(jià)，大約需要 0.06 毫秒。
   但是，如果我們解析求解積分 A0、An、Bn 并使用復(fù)數(shù)版本，我們會(huì)得到大約 0.6 毫秒，這是可比的。我們將在第 3 部分中在 Heston 模型中使用它，該模型是此類期權(quán)定價(jià)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。

下一篇：第 2 部分

媒介：鏈接

在下一篇文章中，我們將了解如何將這些知識(shí)與特征函數(shù)（虛數(shù)的使用）結(jié)合使用，以使用標(biāo)準(zhǔn)布萊克-斯科爾斯模型計(jì)算歐洲看漲期權(quán)的值。