1. 背景

下圖是本文的背景內(nèi)容，小B休閑時間有80%的概率玩手機(jī)游戲，有20%的概率玩電腦游戲。這兩個游戲都有抽卡環(huán)節(jié)，其中手游抽到金卡的概率為5%，端游抽到金卡的概率為15%。已知小B這天抽到了金卡，那么請問他是在手機(jī)上抽到的還是在電腦上抽到的？

2. 全概率公式

上述問題中，我們先考慮小B抽到金卡這件事的概率，設(shè)玩電腦的概率為$P(c)$，玩手機(jī)的概率為$P(p)$，抽到金卡的概率為$P(v)$：

• 如果小B是在電腦上抽到的金卡，那么其概率為$P(c)P(v|c)$，就是玩電腦的概率乘上在電腦上抽到金卡的概率。
• 如果小B是在手機(jī)上抽到的金卡，那么其概率為$P(p)P(v|p)$，就是玩手機(jī)的概率乘上在手機(jī)上抽到金卡的概率。

上面兩個式子分別計算了在手機(jī)上抽到金卡和在電腦上抽到金卡的概率，那么兩者加起來就是小B抽到金卡的概率，即：$P(v)=P(c)P(v|c)+P(p)P(v|p)$。這就是全概率公式，簡單來說就是該事件在所有可能的情況下發(fā)生的概率。

用一個圖來表示更直觀，如下圖所示，是一個長寬為1的正方形，其面積代表了所有事件發(fā)生的可能性。玩電腦占了20%的面積，玩手機(jī)占了80%的面積；玩電腦抽到金卡，占了玩電腦這塊區(qū)域里面的15%；玩手機(jī)抽到金卡，占了玩手機(jī)這塊區(qū)域里面的5%。

那么抽到金卡的概率，即：

3. 貝葉斯公式

知道了全概率公式后，就很容易理解貝葉斯公式了。貝葉斯公式是建立在我們已經(jīng)知道結(jié)果的情況下，即我們知道小B已經(jīng)抽到金卡的情況下，反推小B是玩電腦抽到金卡的概率和玩手機(jī)抽到金卡的概率。

那么玩電腦抽到金卡的概率可以用圖表達(dá)為：

表達(dá)為數(shù)學(xué)公式為：
$$P(c|v)=\frac{P(c)P(v|c)}{P(v)}$$

同理，玩手機(jī)抽到金卡的概率可以用圖表達(dá)為：

表達(dá)為數(shù)學(xué)公式為：
$$P(p|v)=\frac{P(p)P(v|p)}{P(v)}$$

這里 $P(p|v)$ 和 $P(c|v)$ 稱之為后驗(yàn)概率（posterior），即我們知道了結(jié)果，反推過程發(fā)生的概率；$P(c)$ 和 $P(p)$ 稱之為先驗(yàn)概率（prior），即我們還暫時不知道后面的情況，在知道之前事件發(fā)生的可能性；$P(v|c)$ 和 $P(p|c)$ 稱之為似然（likelihood），即在某個情況下，事件發(fā)生的可能性。