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概述

機(jī)器人操作的定義是通過某種機(jī)構(gòu)使零件和工具在空間運動。需要對機(jī)器人各個部分的位置和姿態(tài)進(jìn)行描述，用坐標(biāo)系來實現(xiàn)對位置和姿態(tài)的描述。

1 位置和姿態(tài)以及坐標(biāo)系

一個物體在空間中的位姿和姿態(tài)可以通過坐標(biāo)系來描述。

1.1 描述位置

建立一個坐標(biāo)系，就可以對空間中任意一個點用坐標(biāo)來描述，物體的位置同樣也以坐標(biāo)系里的坐標(biāo)來描述。

1.2 描述姿態(tài)

物體的姿態(tài)是多變的，要描述姿態(tài)就要先確定一個參照物。

1.2.1 用矩陣描述姿態(tài)

B坐標(biāo)系相對A坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣

矩陣?yán)锏脑睾x為A坐標(biāo)系和B坐標(biāo)系軸的單位矢量點乘。
分析
旋轉(zhuǎn)矩陣描述了B坐標(biāo)系三軸的單位矢量在A坐標(biāo)系上的位置，下面用XB、YB、ZB分別表示B坐標(biāo)系三個軸的單位矢量。
第一列XB·XA表示XB矢量在A坐標(biāo)系的X軸上的投影，即x坐標(biāo)，XB·YA表示在Y軸的投影，即y坐標(biāo)，以此類推。

原點重合時，映射公式：

原點不重合時，映射公式：

思路，取一個A坐標(biāo)系平移到B坐標(biāo)系原點的中間坐標(biāo)系，用RP公式轉(zhuǎn)換，然后再將矢量平移過去A。
整理后得到

即用一個矩陣表示旋轉(zhuǎn)+平移的關(guān)系。

例如，坐標(biāo)軸B由坐標(biāo)系A(chǔ)繞Z軸旋轉(zhuǎn)30°，并且位移到A坐標(biāo)系的（10，5.0，0.0）處而成。

注：旋轉(zhuǎn)平移矩陣應(yīng)右乘矢量，即以矩陣的行乘矢量的列。
平移+旋轉(zhuǎn)的關(guān)系用齊次變換矩陣表示。

2 算子

用于坐標(biāo)系間點的額映射的通用數(shù)學(xué)表達(dá)式成為算子。

2.1 平移算子

2.2 旋轉(zhuǎn)算子

繞Z軸旋轉(zhuǎn)算子

2.3 變換算子（旋轉(zhuǎn)+平移）

齊次變換矩陣

2.4 總結(jié)

齊次變換矩陣的定義：
1、它是坐標(biāo)系的描述。確定了坐標(biāo)系B相對坐標(biāo)系A(chǔ)的位置和姿態(tài)。
2、它是變換映射。
3、它是變換算子?？梢杂墒噶吭谝粋€坐標(biāo)系的描述得到它在另一個坐標(biāo)系的描述。

3 應(yīng)用

3.1 混合變換

現(xiàn)有三個坐標(biāo)系A(chǔ)、B、C，已知C相對于B，B相對于A的變換矩陣，用CP求AP。
先用

求出CP在B的描述BP，再用

求出BP在A的描述。
整合得到。

3.2 逆變換

現(xiàn)有坐標(biāo)系A(chǔ)和B，已知B相對于A的變換矩陣，求A相對于B的變換矩陣。
直接用逆矩陣。

4 變換方程

變換方程就是用一組閉環(huán)的坐標(biāo)系來聯(lián)立方程，例如：

D相對于U的變換矩陣可由U->A->D以及U->B->C->D這兩個變換路徑來表示，用這兩個關(guān)系來建立方程式就得到了變換方程。

5 位姿表示方式

5.1 歐拉角

歐拉角通過物體繞坐標(biāo)系XYZ軸旋轉(zhuǎn)的角度來表示物體的位姿。因為繞XYZ軸旋轉(zhuǎn)得出的位姿與順序有關(guān)，旋轉(zhuǎn)順序不可逆，所以歐拉角根據(jù)XYZ的順序也分為很多種。

5.1.1 ZYX歐拉角

先繞Z軸旋轉(zhuǎn)，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)，最后繞X軸旋轉(zhuǎn)。

通過每個軸的旋轉(zhuǎn)矩陣得出位姿的旋轉(zhuǎn)矩陣。

5.1.2 ZYZ歐拉角

先繞Z軸旋轉(zhuǎn)，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)，最后繞X軸旋轉(zhuǎn)。