1.分別用數(shù)值解命令ode23t和ode45 計(jì)算示例3中微分方程的數(shù)值解,同用命令ode23 算得的數(shù)值解以及解析解比較,哪種方法精度較高?你用什么方法比較它們之間的精度?

clc;clear;
f=@(x,y)2*y+x+2;
figure(1)
[x,y]=ode23t(f,[1,2],1);
plot(x,y,'r');
[x,yy]=ode45(f,[1,2],1);
hold on
plot(x,yy,'b');
legend('ode23t','ode45');
[x,yyy]=ode23(f,[1,2],1);
figure(2)
plot(x,yyy);
syms y(x)
h=diff(y)==2*y+x+2;
hh=dsolve(h,y(0)==1);
hold on
ezplot(hh,[0,1]);
legend('數(shù)值解ode23','解析解');

由上圖我們可以發(fā)現(xiàn)，ode23所得到的數(shù)值解和解析解相差還是比較大的，而ode23t和ode45得到的數(shù)值解相差較小。

2.分別用命令ode23,ode23t和ode45求貝塞爾方程的數(shù)值解,并作出數(shù)值解曲線.

我們首先要將此微分方程改寫為一階方程（因?yàn)閛de類函數(shù)只能解一階可分離函數(shù)）：

令y'=z ,則原方程化為：

初值條件為：

clc;clear;
f=@(x,m)[m(2);-m(2)/x-(1-(0.025/x^2)*m(1))];
[x,y]=ode23(f,[pi/2,2*pi],[2,2/pi]);
[xx,yy]=ode23t(f,[pi/2,2*pi],[2,2/pi]);
[xxx,yyy]=ode45(f,[pi/2,2*pi],[2,2/pi]);
figure(1)
plot(x,y);
figure(2)
plot(xx,yy);
figure(3)
plot(xxx,yyy);

此題要學(xué)會(huì)微分方程組該如何去解決。

3.17世紀(jì)末至18世紀(jì)初,牛頓發(fā)現(xiàn)在較小的溫度范圍內(nèi),物體冷卻速率正比于該物體與環(huán)境溫度的差值,因而得冷卻模型

式中T(t)為物體t時(shí)刻的溫度,C是環(huán)境溫度,為正的常數(shù),T0為物體在=0時(shí)刻的溫度,其解為

根據(jù)該冷卻模型,完成下面的實(shí)驗(yàn)任務(wù):

(1)某天晚上23:00時(shí),在一住宅內(nèi)發(fā)現(xiàn)一受害者的尸體,法醫(yī)于23:35 趕到現(xiàn)場(chǎng),立即測(cè)量死者體溫是30.8℃,一小時(shí)后再次測(cè)量體溫為29.1℃,法醫(yī)還注意到當(dāng)時(shí)室溫是28℃,試估計(jì)受害者的死亡時(shí)間.

clc;clear;
format long
syms k m
f=@(t)9*exp(-k*t)+28;
f(m+35),f(m+95)
% 9*exp(-k*(m + 35)) + 28
% 9*exp(-k*(m + 95)) + 28
fsolve('fun',[1,5])
function f=fun(x)
f(1)=9*exp(-x(1)*(x(2) + 35)) + 28;
f(2)=9*exp(-x(1)*(x(2) + 95)) + 28;
end

ans =

???? 4???? 3

由此可知，尸體的死亡時(shí)間為11:57.

(2)一個(gè)煮熟的雞蛋在溫度為98 ℃時(shí)放人溫度為18℃的水中,5 min后雞蛋的溫度是 38℃,假設(shè)水的溫度幾乎沒有升高,需要多長(zhǎng)時(shí)間雞蛋的溫度可以達(dá)到20℃?

clc;clear;
format long
syms k m t
f=@(t)(98-18)*exp(-k*t)+18;
k=double(solve(f(5)==38));
k0=0.277258872223978;
f=@(t)(98-18)*exp(-k0*t)+18;
double(solve(f(t)==20))

ans =13.304820237218411；

4.承接此次實(shí)驗(yàn)中練習(xí)1的第2題,如圖12.7所示.圖中,兩個(gè)容器完全相同,容器1排水孔的半徑為0.02m,容器2排水孔的半徑為0.01m,假如容器1裝滿水,容器2內(nèi)水面的高度是1m,同時(shí)開啟排水孔,完成下面的實(shí)驗(yàn)任務(wù):

(1)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間兩個(gè)容器水面高度相同?

(2)求出容器2水面的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,并求經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間容器2可以排空?

(3)在同一坐標(biāo)系上畫出兩個(gè)容器內(nèi)水面高度與時(shí)間的函數(shù)曲線進(jìn)行比較.

(4)自己設(shè)定排水孔的半徑與各容器的初始水位,將該容器排供水問題推廣到n個(gè)容器的一般情況,建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型并求相關(guān)解.

我們假設(shè)水桶底面半徑為1m，桶高4m；

clc;clear; 
format short
m=4;r=1;
syms h(t) k
m1=-r^2*pi*diff(h)==k*sqrt(h)*pi*0.02^2;
h1=dsolve(m1,h(0)==m);
k=4.43;
h1=eval(h1(2))
%h1=((443*t)/500000 - 2)^2;
m2=-r^2*diff(h)==0.02^2*k*(2-(443*t)/500000)-0.01^2*k*sqrt(h);
h2=dsolve(m2)
f=@(t)(t - 1000000/443)^2/((500*67823512885646425253349271511524613553^(1/2))/3620155077721425633 + 62500/443)^2;

此題未寫完，感覺不是很清楚，還請(qǐng)高人指點(diǎn)。

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