在一個(gè)二叉搜索樹中，兩個(gè)節(jié)點(diǎn) p 和 q 的最近公共祖先可以通過以下的算法找到：

1. 從根節(jié)點(diǎn)開始。
2. 如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值大于 p 和 q 的值，那么你需要轉(zhuǎn)向左子樹。因?yàn)樵诙嫠阉鳂渲?#xff0c;左子樹的所有節(jié)點(diǎn)的值都比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值小。
3. 如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值小于 p 和 q 的值，那么你需要轉(zhuǎn)向右子樹。因?yàn)樵诙嫠阉鳂渲?#xff0c;右子樹的所有節(jié)點(diǎn)的值都比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值大。
4. 如果以上條件都不滿足，那么當(dāng)前節(jié)點(diǎn)就是 p 和 q 的最近公共祖先。

在 Python 中，這個(gè)算法可以像這樣實(shí)現(xiàn)：

class TreeNode:def __init__(self, x):self.val = xself.left = Noneself.right = Nonedef lowestCommonAncestor(root, p, q):while root:if root.val > p.val and root.val > q.val:root = root.leftelif root.val < p.val and root.val < q.val:root = root.rightelse:return rootreturn None

在這個(gè)代碼中，lowestCommonAncestor 函數(shù)將接受一個(gè)二叉搜索樹的根節(jié)點(diǎn) root，和兩個(gè)需要找最近公共祖先的節(jié)點(diǎn) p 和 q。然后它將返回 p 和 q 的最近公共祖先。如果沒有找到，那么它將返回 None。

注意這個(gè)算法假設(shè) p 和 q 都在這棵二叉搜索樹中。

因?yàn)槭嵌鏄?#xff0c;直接按照規(guī)則遍歷，然后在對應(yīng)葉子結(jié)點(diǎn)插入

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:def insertIntoBST(self, root: Optional[TreeNode], val: int) -> Optional[TreeNode]:if root is None:return TreeNode(val)pre = Nonedef traversal(cur, val, left_child=False):nonlocal preif cur is None:if left_child:pre.left = TreeNode(val)else:pre.right = TreeNode(val)returnpre = curif cur.val > val:traversal(cur.left, val, left_child=True)else:traversal(cur.right, val)traversal(root, val)return root

下面是GPT4對該代碼的優(yōu)化

你的代碼已經(jīng)很好地實(shí)現(xiàn)了插入操作。你在遍歷樹的時(shí)候，遞歸地找到插入節(jié)點(diǎn)的位置，然后創(chuàng)建新節(jié)點(diǎn)并插入到正確的位置。同時(shí)，你用一個(gè)外部變量
pre 來跟蹤上一個(gè)節(jié)點(diǎn)，以便在正確的位置插入新節(jié)點(diǎn)。

然而，你的代碼可以被優(yōu)化，使其更簡潔和易于理解。在優(yōu)化后的代碼中，你可以使用返回值，而不是外部變量來跟蹤插入的位置。這樣，你可以避免使用
nonlocal 關(guān)鍵字，并使函數(shù)的邏輯更加清晰。以下是優(yōu)化后的代碼：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right class Solution:def insertIntoBST(self, root: Optional[TreeNode], val: int) -> Optional[TreeNode]:if root is None:return TreeNode(val)if root.val > val:root.left = self.insertIntoBST(root.left, val)else:root.right = self.insertIntoBST(root.right, val)return root ```在優(yōu)化后的代碼中，插入新節(jié)點(diǎn)的邏輯被分配給遞歸調(diào)用的返回值，這使得代碼更加簡潔并且邏輯更加清晰。這個(gè)函數(shù)將創(chuàng)建一個(gè)新的 `TreeNode`
如果 `root` 是 `None`，否則它將遞歸地遍歷左子樹或右子樹，根據(jù) `val`
的值決定向哪個(gè)方向遍歷。然后，遞歸調(diào)用的返回值（即新節(jié)點(diǎn)或現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)）被分配給 `root.left` 或
`root.right`，從而實(shí)現(xiàn)插入操作。最后，函數(shù)返回 `root`，它現(xiàn)在可能有一個(gè)新的子節(jié)點(diǎn)。

對于二叉搜索樹的刪除操作，主要分為以下幾個(gè)步驟：

1. 找到需要刪除的節(jié)點(diǎn)；
2. 如果節(jié)點(diǎn)是葉子節(jié)點(diǎn)，可以直接刪除；
3. 如果節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)孩子，可以直接將其父節(jié)點(diǎn)的相應(yīng)鏈接指向它的孩子；
4. 如果節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)孩子，需要找到其右子樹的最小節(jié)點(diǎn)（或左子樹的最大節(jié)點(diǎn)），用這個(gè)節(jié)點(diǎn)代替要刪除的節(jié)點(diǎn)，然后刪除這個(gè)最小（或最大）節(jié)點(diǎn)。

以下是一個(gè)用Python實(shí)現(xiàn)的例子：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = rightclass Solution:def deleteNode(self, root: Optional[TreeNode], key: int) -> Optional[TreeNode]:if not root:return Noneif key < root.val:  # key在左子樹root.left = self.deleteNode(root.left, key)elif key > root.val:  # key在右子樹root.right = self.deleteNode(root.right, key)else:  # 找到key，進(jìn)行刪除操作if not root.left:  # 左子樹為空，直接返回右子樹return root.rightif not root.right:  # 右子樹為空，直接返回左子樹return root.leftelse:  # 左右子樹均不為空min_node = self.findMin(root.right)  # 找到右子樹的最小節(jié)點(diǎn)root.val = min_node.val  # 將最小節(jié)點(diǎn)的值復(fù)制到rootroot.right = self.deleteNode(root.right, min_node.val)  # 刪除右子樹中的最小節(jié)點(diǎn)return rootdef findMin(self, node: Optional[TreeNode]) -> Optional[TreeNode]:# 找到樹中的最小節(jié)點(diǎn)while node.left:node = node.leftreturn node

這個(gè)函數(shù)的思路主要是使用遞歸來找到要刪除的節(jié)點(diǎn)，然后按照上面提到的規(guī)則刪除。在這個(gè)過程中，我們使用了一個(gè)輔助函數(shù) findMin 來找到一個(gè)樹中的最小節(jié)點(diǎn)。