1. 原理介紹

并查集是一種用于維護(hù)集合關(guān)系的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它支持合并集合和查詢?cè)厮诘募?。它的基本思想是將元素分組，每個(gè)組稱為一個(gè)集合，最終目的是實(shí)現(xiàn)高效地判斷兩個(gè)元素是否在同一集合中。并查集維護(hù)的是一棵樹，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)元素，節(jié)點(diǎn)之間的邊表示它們屬于同一個(gè)集合。初始時(shí)，每個(gè)元素都是一個(gè)獨(dú)立的集合，也就是一棵只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)的樹。合并兩個(gè)集合時(shí)，只需要將其中一個(gè)集合的根節(jié)點(diǎn)掛在另一個(gè)集合的根節(jié)點(diǎn)下面即可。查詢?cè)厮诘募蠒r(shí)，只需要一直向上找到根節(jié)點(diǎn)即可。并查集的時(shí)間復(fù)雜度取決于路徑壓縮和按秩合并這兩種優(yōu)化策略。路徑壓縮是指在查詢根節(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，將路徑上的所有節(jié)點(diǎn)都直接掛在根節(jié)點(diǎn)下面，以減少下次查詢的時(shí)間。按秩合并是指在合并兩個(gè)集合的時(shí)候，將元素個(gè)數(shù)少的集合掛在元素個(gè)數(shù)多的集合下面，以保持樹的平衡性。

2. 并查集的應(yīng)用

并查集常用于解決圖論中的連通性問(wèn)題，例如判斷無(wú)向圖是否連通，求圖的最小生成樹等。另外，它還可以用于離散化處理等場(chǎng)景。

3. find()函數(shù)的定義與實(shí)現(xiàn)

前面在介紹原理的時(shí)候說(shuō)到，并查集的基本思想是將元素分組，每個(gè)組稱為一個(gè)集合，最終目的是實(shí)現(xiàn)高效地判斷兩個(gè)元素是否在同一個(gè)集合中。而find函數(shù)的作用就是判斷一個(gè)元素是否屬于一個(gè)組，而所謂的一組實(shí)際上就是一棵樹。那么find函數(shù)是如何實(shí)現(xiàn)判斷一個(gè)元素是否屬于一個(gè)組的？原理其實(shí)很簡(jiǎn)單，其實(shí)每個(gè)組都會(huì)有個(gè)代表元（這個(gè)代表元通常是更節(jié)點(diǎn)），只要兩個(gè)元素?fù)碛泄餐拇碓鼈兙蛯儆谕粋€(gè)組。下面我們基于代碼分析一下，find函數(shù)的原理：

public int find(int x) {while (parent[x] != x) {x = parent[x];}return x;
}

在該實(shí)現(xiàn)中，我們使用一個(gè)while循環(huán)來(lái)一直向上查找，直到找到該元素所在組的根節(jié)點(diǎn)為止。在查找的過(guò)程中，我們每次都將當(dāng)前元素的父節(jié)點(diǎn)（parent[x])作為下一個(gè)元素進(jìn)行查找。當(dāng)找到根節(jié)點(diǎn)時(shí)，循環(huán)終止，返回該節(jié)點(diǎn)即可。然而，當(dāng)并查集的規(guī)模比較大時(shí)，這種實(shí)現(xiàn)的時(shí)間復(fù)雜度會(huì)很高，為$O(n)$，其中$n$是并查集中元素的總數(shù)。而優(yōu)化后的實(shí)現(xiàn)可以將時(shí)間復(fù)雜度降低到$O(\alpha (n))$，其中$\alpha$是阿克曼函數(shù)的反函數(shù)，可以認(rèn)為它是一個(gè)極小的值，因此可以近似地看作是常數(shù)時(shí)間復(fù)雜度。因此，路徑壓縮優(yōu)化對(duì)于并查集的性能提升非常顯著。

4. 并查集的join函數(shù)

并查集（Union-Find Set）中的 join() 函數(shù)用于將兩個(gè)元素所在的組合并成一個(gè)大組，它的實(shí)現(xiàn)原理很簡(jiǎn)單，即將其中一個(gè)元素的根節(jié)點(diǎn)指向另一個(gè)元素的根節(jié)點(diǎn)即可。具體來(lái)說(shuō)，它的實(shí)現(xiàn)可以分為以下兩個(gè)步驟：

• 找到兩個(gè)元素所在組的根節(jié)點(diǎn)。我們可以使用并查集中的 find() 函數(shù)來(lái)查找兩個(gè)元素所在組的根節(jié)點(diǎn)。如果它們的根節(jié)點(diǎn)相同，則說(shuō)明它們已經(jīng)在同一個(gè)組中，不需要再合并了。

• 合并兩個(gè)組。如果兩個(gè)元素不在同一個(gè)組中，則需要將它們所在的組合并成一個(gè)大組。具體來(lái)說(shuō)，我們可以將其中一個(gè)元素的根節(jié)點(diǎn)指向另一個(gè)元素的根節(jié)點(diǎn)，從而將兩個(gè)組合并成一個(gè)大組。

以下是并查集中 join() 函數(shù)的 Java 代碼實(shí)現(xiàn)：

public void join(int x, int y) {int rootX = find(x);int rootY = find(y);if (rootX != rootY) {parent[rootX] = rootY;}
}

其中，parent 是一個(gè)數(shù)組，用于存儲(chǔ)每個(gè)元素所在組的根節(jié)點(diǎn)。初始時(shí)，每個(gè)元素的父節(jié)點(diǎn)都是它自己，即 parent[i] = i。在 join() 函數(shù)中，我們首先使用 find() 函數(shù)來(lái)找到 x 和 y 所在組的根節(jié)點(diǎn)。如果它們的根節(jié)點(diǎn)相同，說(shuō)明它們已經(jīng)在同一個(gè)組中，不需要再合并了。如果它們的根節(jié)點(diǎn)不同，說(shuō)明它們不在同一個(gè)組中，需要將它們所在的組合并成一個(gè)大組。為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，我們將其中一個(gè)元素的根節(jié)點(diǎn)指向另一個(gè)元素的根節(jié)點(diǎn)即可，這里我們選擇將 x 所在組的根節(jié)點(diǎn) rootX 指向 y 所在組的根節(jié)點(diǎn) rootY。具體來(lái)說(shuō)，我們可以將 parent[rootX] 的值賦為 rootY，從而將 x 所在組的所有元素的根節(jié)點(diǎn)都指向 y 所在組的根節(jié)點(diǎn) rootY，從而將兩個(gè)組合并成一個(gè)大組。需要注意的是，這里的 join() 函數(shù)只是簡(jiǎn)單地將其中一個(gè)元素的根節(jié)點(diǎn)指向另一個(gè)元素的根節(jié)點(diǎn)，并不考慮各組的大小和深度等因素，因此可能會(huì)導(dǎo)致并查集出現(xiàn)深度不平衡的情況。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，可以使用一些其他的優(yōu)化策略，例如按秩合并和路徑壓縮等，以提高并查集的性能和穩(wěn)定性。

5. 路徑壓縮優(yōu)化算法-優(yōu)化find

前面我們說(shuō)到，原始的find函數(shù)的查找根節(jié)點(diǎn)的時(shí)間復(fù)雜度較高，這里我們考慮將其進(jìn)行優(yōu)化。路徑壓縮是并查集中一種常用的優(yōu)化技術(shù)，它通過(guò)修改樹的結(jié)構(gòu)來(lái)減少后續(xù)查找所需經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量，從而提高并查集的性能。在并查集中，每個(gè)元素都有一個(gè)父節(jié)點(diǎn)，用于表示它所在的組的根節(jié)點(diǎn)。當(dāng)我們查找一個(gè)元素所在的組時(shí)，實(shí)際上就是在不斷向上查找該元素的父節(jié)點(diǎn)，直到找到根節(jié)點(diǎn)為止。路徑壓縮就是在這個(gè)查找的過(guò)程中，將沿途經(jīng)過(guò)的所有節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)直接指向根節(jié)點(diǎn)，從而降低后續(xù)查找所需經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

具體來(lái)說(shuō)，路徑壓縮的原理可以分為兩個(gè)步驟：

• 查找根節(jié)點(diǎn)：我們首先使用遞歸調(diào)用的方式，不斷查找當(dāng)前元素的父節(jié)點(diǎn)，直到找到根節(jié)點(diǎn)為止。在查找過(guò)程中，如果當(dāng)前元素的父節(jié)點(diǎn)不是根節(jié)點(diǎn)，那么我們就將其父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為下一次查找的元素。

• 路徑壓縮：當(dāng)我們找到根節(jié)點(diǎn)后，就會(huì)得到整個(gè)樹的結(jié)構(gòu)。此時(shí)，為了減少后續(xù)查找所需經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量，我們可以將沿途經(jīng)過(guò)的所有節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)都直接指向根節(jié)點(diǎn)。這個(gè)過(guò)程可以在遞歸調(diào)用的返回過(guò)程中完成，具體來(lái)說(shuō)就是在返回前將當(dāng)前元素的父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為根節(jié)點(diǎn)即可。

以下是基于路徑壓縮優(yōu)化的并查集中find()函數(shù)的Java實(shí)現(xiàn)：

public int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]); // 路徑壓縮}return parent[x];
}

6. 路徑壓縮優(yōu)化算法+按秩合并算法

路徑壓縮算法還可以與按秩合并算法結(jié)合起來(lái)，以進(jìn)一步提高并查集的性能和穩(wěn)定性。具體來(lái)說(shuō)，可以在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上增加一個(gè)權(quán)值，表示該節(jié)點(diǎn)所在組的大小或深度等信息，從而實(shí)現(xiàn)按秩合并算法的功能。在進(jìn)行路徑壓縮的同時(shí)，還可以更新節(jié)點(diǎn)的權(quán)值信息，從而保證并查集的平衡性和穩(wěn)定性。在路徑壓縮算法中，為了避免對(duì)并查集中所有節(jié)點(diǎn)都進(jìn)行路徑壓縮操作，可能會(huì)出現(xiàn)一些節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)指向了自己的情況。為了避免這種情況，可以在進(jìn)行路徑壓縮時(shí)，同時(shí)對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)標(biāo)記，表示該節(jié)點(diǎn)已經(jīng)進(jìn)行了路徑壓縮操作。具體來(lái)說(shuō)，可以在 find() 函數(shù)中增加一個(gè)參數(shù) compress，表示是否進(jìn)行路徑壓縮，同時(shí)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上增加一個(gè)標(biāo)記 compressed，表示該節(jié)點(diǎn)是否已經(jīng)進(jìn)行了路徑壓縮。修改后的 find() 函數(shù)實(shí)現(xiàn)如下：

public int find(int x, boolean compress) {if (parent[x] != x) {if (compress && !compressed[x]) {// 路徑壓縮，并更新節(jié)點(diǎn)的權(quán)值信息parent[x] = find(parent[x], compress);size[x] = size[parent[x]];compressed[x] = true;} else {// 遞歸查找根節(jié)點(diǎn)parent[x] = find(parent[x], compress);}}return parent[x];
}