LeetCode300.最長(zhǎng)遞增子序列

動(dòng)態(tài)規(guī)劃五部曲：

1，dp[i]的定義：本題中，正確定義dp數(shù)組的含義十分重要。dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]結(jié)尾的最長(zhǎng)遞增子序列的長(zhǎng)度。為什么一定表示 “以nums[i]結(jié)尾的最長(zhǎng)遞增子序” ，因?yàn)樵谧鲞f增比較的時(shí)候，如果比較 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么兩個(gè)遞增子序列一定分別以nums[j]為結(jié)尾 和 nums[i]為結(jié)尾， 要不然這個(gè)比較就沒有意義了，不是尾部元素的比較那么 如何算遞增呢。

2，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：位置i的最長(zhǎng)升序子序列等于j從0到i-1各個(gè)位置的最長(zhǎng)升序子序列 + 1 的最大值。所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意這里不是要dp[i] 與 dp[j] + 1進(jìn)行比較，而是我們要取dp[j] + 1的最大值。

3，dp[i]的初始化：每一個(gè)i，對(duì)應(yīng)的dp[i]（即最長(zhǎng)遞增子序列）起始大小至少都是1。

4，確定遍歷順序：dp[i] 是有0到i-1各個(gè)位置的最長(zhǎng)遞增子序列 推導(dǎo)而來，那么遍歷i一定是從前向后遍歷。j其實(shí)就是遍歷0到i-1，那么是從前到后，還是從后到前遍歷都無(wú)所謂，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍歷了就行了。 所以默認(rèn)習(xí)慣 從前向后遍歷。

5，舉例推導(dǎo)dp數(shù)組：輸入：[0,1,0,3,2]，dp數(shù)組的變化如下：

Java代碼如下：

    public int lengthOfLIS(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length];Arrays.fill(dp, 1);for (int i = 0; i < dp.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}}int res = 0;for (int i = 0; i < dp.length; i++) {res = Math.max(res, dp[i]);}return res;}

LeetCode674. 最長(zhǎng)連續(xù)遞增序列

動(dòng)態(tài)規(guī)劃五部曲：

1，確定dp數(shù)組（dp table）以及下標(biāo)的含義：dp[i]：以下標(biāo)i為結(jié)尾的連續(xù)遞增的子序列長(zhǎng)度為dp[i]。注意這里的定義，一定是以下標(biāo)i為結(jié)尾，并不是說一定以下標(biāo)0為起始位置。

2，確定遞推公式：如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 為結(jié)尾的連續(xù)遞增的子序列長(zhǎng)度 一定等于 以i - 1為結(jié)尾的連續(xù)遞增的子序列長(zhǎng)度 + 1 。即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;因?yàn)楸绢}要求連續(xù)遞增子序列，所以就只要比較nums[i]與nums[i - 1]，而不用去比較nums[j]與nums[i] （j是在0到i之間歷）。既然不用j了，那么也不用兩層for循環(huán)，本題一層for循環(huán)就行，比較nums[i] 和 nums[i - 1]。

3，dp數(shù)組如何初始化：以下標(biāo)i為結(jié)尾的連續(xù)遞增的子序列長(zhǎng)度最少也應(yīng)該是1，即就是nums[i]這一個(gè)元素。所以dp[i]應(yīng)該初始1;

4，確定遍歷順序：從遞推公式上可以看出， dp[i + 1]依賴dp[i]，所以一定是從前向后遍歷。

5，舉例推導(dǎo)dp數(shù)組：已輸入nums = [1,3,5,4,7]為例，dp數(shù)組狀態(tài)如下：

Java代碼如下：

    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length];for (int i = 0; i < dp.length; i++) {dp[i] = 1;}int res = 1;for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {if (nums[i + 1] > nums[i]) {dp[i + 1] = dp[i] + 1;}res = res > dp[i + 1] ? res : dp[i + 1];}return res;}

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LeetCode718. 最長(zhǎng)重復(fù)子數(shù)組

動(dòng)態(tài)規(guī)劃五部曲：

1，確定dp數(shù)組（dp table）以及下標(biāo)的含義：dp[i][j] ：以下標(biāo)i - 1為結(jié)尾的A，和以下標(biāo)j - 1為結(jié)尾的B，最長(zhǎng)重復(fù)子數(shù)組長(zhǎng)度為dp[i][j]。 （特別注意： “以下標(biāo)i - 1為結(jié)尾的A” 標(biāo)明一定是 以A[i-1]為結(jié)尾的字符串 ）。那dp[0][0]是什么含義呢？總不能是以下標(biāo)-1為結(jié)尾的A數(shù)組吧。其實(shí)dp[i][j]的定義也就決定著，我們?cè)诒闅vdp[i][j]的時(shí)候i 和 j都要從1開始。

2，確定遞推公式：根據(jù)dp[i][j]的定義，dp[i][j]的狀態(tài)只能由dp[i - 1][j - 1]推導(dǎo)出來。即當(dāng)A[i - 1] 和B[j - 1]相等的時(shí)候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;根據(jù)遞推公式可以看出，遍歷i 和 j 要從1開始！

3，dp數(shù)組如何初始化：根據(jù)dp[i][j]的定義，dp[i][0] 和dp[0][j]其實(shí)都是沒有意義的！但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因?yàn)?為了方便遞歸公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化為0。舉個(gè)例子A[0]如果和B[0]相同的話，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始為0，正好符合遞推公式逐步累加起來。

4，確定遍歷順序：外層for循環(huán)遍歷A，內(nèi)層for循環(huán)遍歷B。那又有同學(xué)問了，外層for循環(huán)遍歷B，內(nèi)層for循環(huán)遍歷A。不行么？也行，一樣的，我這里就用外層for循環(huán)遍歷A，內(nèi)層for循環(huán)遍歷B了。同時(shí)題目要求長(zhǎng)度最長(zhǎng)的子數(shù)組的長(zhǎng)度。所以在遍歷的時(shí)候順便把dp[i][j]的最大值記錄下來。

5，舉例推導(dǎo)dp數(shù)組：拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]為例，畫一個(gè)dp數(shù)組的狀態(tài)變化，如下：

Java代碼如下：

    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {int result = 0;int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;result = Math.max(result, dp[i][j]);}}}return result;}

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