1?? OFDM的原理

1.1 介紹

OFDM是一種多載波調(diào)制技術(shù)，將輸入數(shù)據(jù)分配到多個(gè)子載波上，每個(gè)子載波上可以獨(dú)立使用 QAM、PSK 等傳統(tǒng)調(diào)制技術(shù)進(jìn)行調(diào)制。這些子載波之間互相正交，從而可以有效利用頻譜并減少干擾。

1.2 OFDM的核心

1. 多載波調(diào)制
   高速數(shù)據(jù)流被拆分成多個(gè)并行的低速數(shù)據(jù)流，每個(gè)低速數(shù)據(jù)流被分配到正交的子載波上
2. 子載波正交性
   子載波的正交性是OFDM的核心，正交性保證了不同子載波之間不會(huì)相互干擾
3. 使用FFT/IFFT的實(shí)現(xiàn)
   OFDM使用IFFT生成正交的子載波信號(hào)，而在接收端通過FFT恢復(fù)頻域信號(hào)

1.3 OFDM系統(tǒng)架構(gòu)

以MQAM調(diào)制為例，假設(shè)OFDM系統(tǒng)的輸入信號(hào)是串行的二進(jìn)制碼元，每個(gè)二進(jìn)制碼元的持續(xù)時(shí)間為$T_{\mathrm{b}}$。

分幀：首先，將輸入信號(hào)分幀，每一幀包含F(xiàn)個(gè)二進(jìn)制碼元，即包含F(xiàn)比特。

分組：然后針對(duì)每一幀來說，每幀都會(huì)再進(jìn)一步分組，即把F個(gè)二進(jìn)制碼元分成N組，每組中的比特?cái)?shù)可以不同。例如，第$i$組包含的比特?cái)?shù)是$b_i$。

碼元轉(zhuǎn)換：將每組中的$b_i$個(gè)比特看作一個(gè)$M_i$進(jìn)制的碼元$B_i$，$b_i$與$M_i$的關(guān)系是$b_i=lo{g}_2{M}_i$

串并轉(zhuǎn)換：此步驟將串行的N個(gè)碼元$B_i$變成N路并行碼元$B_i$。并行碼元的持續(xù)時(shí)間相同，都是$T_B=F?T_b$

映射：在MQAM調(diào)制中，一個(gè)并行碼元$B_i$可以用平面上的一個(gè)點(diǎn)表示，將$M_i$進(jìn)制的碼元$B_i$變成一一對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)${\mathbf{B}}_{\mathbf{i}}$的過程稱為映射過程。例如$B_i$包含4bit “1100”，那就是16進(jìn)制碼元，進(jìn)行的是16QAM調(diào)制，假設(shè)星座圖如下圖所示，則其相位為45°，振幅為$A/\sqrt{2}$。此映射過程將“1100”映射為復(fù)數(shù)形式${\mathbf{B}}_{\mathbf{i}}=(A/\sqrt{2})e^{j\pi /4}$

調(diào)制：N路并行碼元$B_i$對(duì)N個(gè)子載波進(jìn)行不同的MQAM調(diào)制。由于各個(gè)并行碼元$B_i$包含比特?cái)?shù)不同，所以調(diào)制方式不同，舉個(gè)例子，若并行碼元$B_i$包含4bit，那就是16QAM調(diào)制；包含8bit就是64QAM調(diào)制

IDFT：使用IDFT實(shí)現(xiàn)正交頻分復(fù)用

• 最低子載波頻率設(shè)定：為了用IDFT實(shí)現(xiàn)OFDM，先將OFDM的最低子載波頻率設(shè)定為0。這是為了滿足IDFT公式：$$s(k)=\frac{1}{\sqrt{K}}\sum _{n=0}^{K?1}\mathbf{S}(n){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(2\pi /K)nk},k=0,1,2,?,K?1$$在n=0時(shí)，其右端第一項(xiàng)的指數(shù)因子等于1的條件，方便后續(xù)數(shù)學(xué)運(yùn)算和信號(hào)處理。

• IDFT項(xiàng)數(shù)設(shè)定與等效復(fù)碼元序列生成：假設(shè)IDFT的項(xiàng)數(shù)為K，設(shè)置K=2N，即IDFT的項(xiàng)數(shù)等于子信道數(shù)目N的2倍。根據(jù)下述共軛對(duì)稱性條件：

  若信號(hào)的時(shí)域函數(shù) $s(k)$ 是實(shí)函數(shù)，則其 $K$ 點(diǎn) DFT 的值 $\mathbf{S}(n)$ 一定滿足對(duì)稱性條件：$$\mathbf{S}(K?k)={\mathbf{S}}^{?}(k)k=0,1,2,?,K?1$$式中： ${\mathbf{S}}^{?}(k)$ 為 $\mathbf{S}(k)$ 的復(fù)共軛。

  從N個(gè)并行復(fù)數(shù)碼元序列 { B i } \left\{\boldsymbol{B_i}\right\} {Bi?}（ $i=0,1,?,N?1)$ 生成 $K=2N$ 【將 IDFT 項(xiàng)數(shù)設(shè)為2N】個(gè)等效復(fù)數(shù)碼元序列 $\left\{{{\mathbf{B}}_{\mathbf{n}}}^{\prime }\right\}($ $n=0,1,?,2N?1)$，具體規(guī)則如下：
  ① 當(dāng) $n=1,2,?,N?1$ 時(shí)，${\mathbf{B}}_{K?n?1}^{\prime }={\mathbf{B}}_n^{?}(B_n^{?}$ 為 $B_n$ 的共軛復(fù)數(shù)）。
  ② 當(dāng) $n=N,N+1,?,2N?2$ 時(shí)，${\mathbf{B}}_{K?n?1}^{\prime }={\mathbf{B}}_{K?n?1}$ 。
  ③ ${\mathbf{B}}_0^{\prime }=\mathrm{Re}\left(B_0\right)$ ，即取 ${\mathbf{B}}_0$ 的實(shí)部。
  ④ ${\mathbf{B}}_{K?1}^{\prime }={\mathbf{B}}_{2N?1}^{\prime }=\mathrm{Im}\left({\mathbf{B}}_0\right)$ ，即取 ${\mathbf{B}}_0$ 的虛部。

  補(bǔ)充：為什么一定要K=2N？
  OFDM 系統(tǒng)最終需要生成實(shí)值的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行傳輸（實(shí)信號(hào)在實(shí)際硬件中更易處理和傳輸）。IDFT 具有這樣的特性：當(dāng)頻域序列滿足一定的共軛對(duì)稱性質(zhì)時(shí)，經(jīng)過 IDFT 變換后得到的時(shí)域序列是實(shí)值的。通過將 IDFT 項(xiàng)數(shù)設(shè)為 $2N$ ，可以利用這一性質(zhì)，通過對(duì) $N$ 個(gè)并行復(fù)數(shù)碼元序列構(gòu)建出具有共軛對(duì)稱性質(zhì)的 $2N$ 個(gè)等效復(fù)數(shù)碼元序列（如前面提到的通過特定的對(duì)稱規(guī)則生成），從而確保經(jīng)過 IDFT 后得到實(shí)值的時(shí)域信號(hào)。

• OFDM信號(hào)的離散形式：將生成的新碼元序列 $\left\{{\mathbf{B}}_n^{\prime }\right\}$ 作為頻域信號(hào)代入IDFT公式，得到時(shí)域離散信號(hào)：
  $$e(k)=\frac{1}{\sqrt{K}}\sum _{n=0}^{K?1}{\mathbf{B}}_n^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(2\pi /K)nk}(k=0,1,?,K?1)$$
  這里的 $e(k)$ 是離散的，且 $e(k)=e\left(k{T}_{\mathrm{B}}/K\right)$，即在離散的時(shí)間點(diǎn) $k{T}_{\mathrm{B}}/K$ 上對(duì)連續(xù)的 OFDM 信號(hào) $e(t)$ 進(jìn)行抽樣得到了 $e(k)$

循環(huán)前綴：對(duì)每個(gè) OFDM 符號(hào)添加循環(huán)前綴，以對(duì)抗多徑效應(yīng)等引起的干擾，它是在時(shí)域上操作的【OFDM信號(hào)長(zhǎng)啥樣？？？ 例如，50個(gè)OFDM符號(hào)，每個(gè)符號(hào)64個(gè)子載波，那矩陣大小就是64×50，加8個(gè)循環(huán)前綴的話，就會(huì)變成72×50】

并串轉(zhuǎn)換：此時(shí)的信號(hào) $e(k)$ 在時(shí)域上還是以并行的形式存在，為了后續(xù)能夠進(jìn)行 D／A 轉(zhuǎn)換以及在實(shí)際信道中傳輸【因?yàn)镈/A 轉(zhuǎn)換器通常接收串行的信號(hào)】，需要將這些并行的離散信號(hào)進(jìn)行并串轉(zhuǎn)換，將其變?yōu)榇械碾x散信號(hào)序列

通過D/A轉(zhuǎn)換得到連續(xù)形式：離散抽樣信號(hào)$e(k)$經(jīng)過數(shù)模（D/A）轉(zhuǎn)換后就得到OFDM 信號(hào)的連續(xù)時(shí)間表達(dá)式：
$$e(t)=\frac{1}{\sqrt{K}}\sum _{n=0}^{K?1}{\mathbf{B}}_n^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\left(2\pi /T_{\mathrm{B}}\right)nt}\left(0?t?T_{\mathrm{B}}\right)$$
它是從離散抽樣信號(hào) $e(k)$ 推導(dǎo)而來的，體現(xiàn)了 OFDM 信號(hào)在整個(gè)時(shí)間區(qū)間 $\left[0,T_{\mathrm{B}}\right]$ 上的連續(xù)變化情況。在這個(gè)表達(dá)式中，每一項(xiàng) ${\mathbf{B}}_n^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\left(2\pi /T_{\mathrm{B}}\right)nt}$ 都代表一個(gè)子載波信號(hào)，不同的 $n$ 對(duì)應(yīng)不同的子載波，通過對(duì)這些子載波信號(hào)進(jìn)行疊加，就得到了完整的 OFDM 信號(hào) $e(t)$

• 子載波頻率：子載波頻率 $f_k=n/T_{\mathrm{B}}(n=0,1,?,N?1)$ 。在 OFDM 系統(tǒng)中，子載波是承載信息的關(guān)鍵元素。這個(gè)公式表明子載波頻率是等間隔分布的，間隔為 $1/T_{\mathrm{B}}$【$T_{\mathrm{B}}$是并行碼元的持續(xù)時(shí)間】 。從物理意義上講，不同的子載波頻率使得各個(gè)子載波能夠在頻域上相互正交，從而在相同的時(shí)間和帶寬資源下，實(shí)現(xiàn)多個(gè)子載波同時(shí)傳輸不同信息，提高了頻譜利用率。

上變頻：由于實(shí)際通信中信號(hào)需要在特定高頻頻段傳輸，后續(xù)會(huì)用上變頻將OFDM信號(hào)頻譜搬移到指定高頻為止