基本模型

假設(shè)在二維直角坐標(biāo)系中，可以用相互垂直的基向量和表示：

假設(shè)：

假設(shè)在上的投影為，那么：

所以：

用公式表達(dá)：

但是在實(shí)際中，基向量和不一定長(zhǎng)度都是1，重新推導(dǎo)一下：

假設(shè)：

那么：

兩邊乘以：

分子部分其實(shí)就是求在上的投影與的乘積，所以：

帶入數(shù)據(jù)：

大功告成。

結(jié)論：

從二維到無(wú)限維

二維模型如下：

向量	維度1的投影	維度2的投影
	2	3
	1	0
	0	1

擴(kuò)展到三維：

向量	維度1的投影	維度2的投影	維度3的投影
	c1	c2	c3
	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

可以看到，有多少個(gè)維度就要有多少個(gè)基向量，每個(gè)基向量的維度和相等。

擴(kuò)展到無(wú)限維：

向量	維度1的投影	維度2的投影	維度3的投影	維度n的投影
	c1	c2	c3	cn
	1	0	0	0
	0	1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

把函數(shù)當(dāng)成無(wú)限維向量

把函數(shù)的t當(dāng)成無(wú)限維，它的值分布在各自的維度上：

函數(shù)

于是：

這里有個(gè)容易讓人困惑的點(diǎn)：

前面的各個(gè)基向量都是這樣的：

向量	維度1的投影	維度2的投影	維度3的投影	維度n的投影
	1	0	0	0
	0	1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

每個(gè)向量只在自己的維度有值，在別的維度為0。

那現(xiàn)在的函數(shù)在別的維度上等于0嗎？

不一定，但是沒(méi)錯(cuò)。

首先各個(gè)維度的基向量是正交（垂直）的，比如：

這里的函數(shù)其實(shí)也是正交的：

兩邊乘以：

在傅里葉變換中：

各個(gè)基函數(shù)=?

其中是步長(zhǎng)的意思，任你選取，n=1,2,...

總的意思就是f(t)可以表示成很多正交的、不同頻率（一個(gè)頻率就是一個(gè)維度）的三角函數(shù)之和。

可以證明：

與正交，與正交。

于是：

好了，已知了，怎么求？

由前面的公式：

可以推導(dǎo)出：

套用之前兩邊乘以dt的方法：

帶入，：

這便是傅里葉級(jí)數(shù)了。

其它

各個(gè)基函數(shù)必須是兩兩正交的，不然所有推導(dǎo)都是錯(cuò)的。

好多資料說(shuō)兩個(gè)函數(shù)的正交等于它們的內(nèi)積：

但是由向量的點(diǎn)積推出來(lái)應(yīng)該是這樣才對(duì)：

可這樣也是不對(duì)的，不存在這種操作。在我的推導(dǎo)中用了這個(gè)等式，但是我分子分母約掉dt了，所以避開(kāi)了。