本文用一種淺顯易懂的方式說明KL散度。
參考資料

KL散度本質(zhì)上是比較兩個(gè)分布的相似程度。

現(xiàn)在給出2個(gè)簡單的離散分布，稱為分布1和分布2.

分布1有3個(gè)樣本，
其中A的概率為50%, B的概率為40%，C的概率為10%

分布2也有3個(gè)樣本：
其中A的概率為50%，B的概率為10%，C的概率為40%。

現(xiàn)在想比較分布1和分布2的相似程度。

直觀看上去分布1和分布2中樣本A的概率是一樣的，僅僅B和C的概率換了一下。
分布應(yīng)該是相似的，但是如何量化來看呢。

可以這樣做，用分布1的各個(gè)樣本的概率和分布2樣本概率做比值，相加再求平均。

現(xiàn)假設(shè)分布1的概率分布為P，分布2的概率分布為Q，
那么P(A) = 0.5, P(B)=0.4, P( C) = 0.1
Q(A) = 0.5, Q(B) = 0.1, Q( C) = 0.4,

各樣本概率做比值之后為：
P(A)/Q(A) + P(B)/Q(B) + P( C)/Q( C) = 1+4+1/4
再對3個(gè)樣本取平均： (1+4+1/4) / 3 = 1.75
這就是我們想要的分布1和分布2的相似度。

不過有一個(gè)問題，
可以看到P(B)和Q(B), P( C)和Q( C)僅僅概率做了交換，它們的相似度大小應(yīng)該是一樣的（僅僅方向不一樣），
也就是說P(B)/Q(B), P( C)/Q( C)的絕對值應(yīng)該是一樣的，符號不一樣。
但是現(xiàn)在，哪個(gè)分子大哪個(gè)結(jié)果就大，這是不應(yīng)該的，

想要這樣一個(gè)函數(shù)來解決這個(gè)問題，
f(4) = y
f(1/4) = -y,
這里的4為P(B)/Q(B), 1/4為P( C)/Q( C),
經(jīng)過f(x)后得到的應(yīng)該是同樣的相似度大小，只是方向不一樣，一個(gè)是變大的方向，一個(gè)是變小的方向，用負(fù)號表示方向的不同。

那么什么樣的函數(shù)能滿足f(x)呢，
可以取幾個(gè)值畫一下，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)f(x)就是log(x)。

那么現(xiàn)在把剛才的相似度修改一下，
把簡單的P(x)/Q(x)換成log(P(x) / Q(x)).
于是變?yōu)?#xff1a;$$\sum _1^{n}log\frac{P(x)}{Q(x)}/n$$

對樣本取平均值表示每個(gè)樣本的weight都是1/n,
不要取這么平均，把weight改為P(x),

那么就得到$$\sum _1^{n}P(x)log\frac{P(x)}{Q(x)}$$

這就是我們熟悉的KL散度，它比較的是分布P和分布Q的相似度。
“||”右邊的Q表示是reference分布。

$$KL(P||Q)=\sum _1^{n}P(x)log\frac{P(x)}{Q(x)}$$