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目錄
一. 介紹
二. 行列式的基本性質
2.1 單位陣的行列式
2.2 交換行位置的行列式
三. 矩陣求逆與行列式
四. 體積與行列式
五. 矩陣主元與行列式
六. 解方程與矩陣行列式
七. 小結
一. 介紹
行列式可以反應矩陣的很多性質，比如可以求矩陣的逆，也可以求方程的解，如下：
矩陣行列式有三個基礎的性質：
（1）單位陣
單位陣的行列式為1，也就是：
det I=1
（2) 符號
矩陣的行位置交換會影響行列式的符號
（3）線性關系
矩陣行列式與行向量之間呈現線性關系
本文章將梳理矩陣行列式的四個基本應用。
二. 行列式的基本性質
以2行2列的矩陣為例，其行列式的計算非常簡單，如下：
通常行列式有兩種常用寫法，分別是detA和|A|
以下我們將主要討論方陣。
2.1 單位陣的行列式
很明顯單位矩陣（identity matrix）的行列式為1，如下：
2.2 交換行位置的行列式
當把某兩行的位置交換時，行列式會改變符號，如下：
任何置換矩陣都可以變成單位陣，單位陣的行列式為1，由此可得置換矩陣的行列式只能取1或-1，如下：
三. 矩陣求逆與行列式
我們都知道如果矩陣行列式為0時，那么其為奇異矩陣（singular）。如果矩陣A行列式不為0，那么該矩陣可以直接求逆，如下：
逆矩陣中的元素與行列式的倒數相關。
在求矩陣特征值時，涉及到：
其中的值會出現在矩陣對角線上，要保證該方程有解，那么要求
是奇異的，也就是可得：
把以上等式看成一個方程，如果該方程為n次方，也就是有n個解，從而矩陣A有n個特征值。
四. 體積與行列式
以最簡單的三維立方體為例子dV=dxdydz，也就是：
如果寫成柱坐標（cylindrical coordinates），可得：
dx的積分運算替換成(dx/du)du，由此可得體積運算為：
于是，雅克比行列式（Jacobian determinant）就可以寫成三維的形式，如下：
此三階矩陣的行列式很容易計算為r
綜上可得矩陣A的行列式與n維箱子的體積相等，在網絡安全中此結論是很有用的，來看一個直觀的圖形：
五. 矩陣主元與行列式
忽略正負號的情況下，矩陣行列式等于矩陣主元（pivots)的乘積。?
六. 解方程與矩陣行列式
可以用行列式的思想來衡量b對的影響。利用行列式可以直接計算矩陣A的逆，接著利用Cramer法則計算解：
七. 小結
以上討論中，我們了解到行列式的值與主元的乘積相關。通常而言計算行列式有兩個常用的公式，一個是所謂的big formula，另外一個是 formula by induction。
（1）線性代數需要掌握的重點
行列式 內容：行列式的定義和性質；Cramer 法則；子式與代數余子式；按一行（列）展開定理。
要求： 掌握行列式的概念和性質，熟練應用行列式的性質計算行列式，并會用行列式求解線性方程組。
矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程組 內容： 矩陣的概念和運算；常用的特殊矩陣；矩陣的初等變換與初等矩陣；可逆矩陣以及性質 ；矩陣的秩等概念。 線性方程組的解。
要求： 掌握矩陣和秩的概念；能熟練地進行矩陣的各種運算（加、減、數乘、乘、求逆等）；會求逆陣和矩陣的秩。
向量組的線性相關性 內容： 向量組及其線性組合、向量組的線性相關性，向量組的秩，線性方程組的解的結構，向量空間。
要求： 掌握向量的線性關系（組合與等價、線性相關與線性無關、極大線性無關組）等概念， 能熟練應用矩陣來求解或討論線性方程組的解和解的結構。掌握向量空間的有關知識。
（2）矩陣應用
隨著計算機硬件的發(fā)展和處理復雜算法能力的提高 ，近30年來 ，以人工智能為核心的相關學科群 ：計算機視覺 、模式識別（含機器學習） 、數字圖像處理 、數字信號處理和計算機圖形學得到了迅速的發(fā)展 ．20世紀90年代 ，這些學科的發(fā)展逐步走向成熟 ，相關技術的融合和實際應用顯著增長 ．而且 ，隨著計算機應用深入到社會科學和生物學等學科 ，加之計算機網絡的迅速擴展 ，數據的維數激增和數據量按指數增長 ，計算機所處理的數據發(fā)生了根本性的變化 ，這些都將進一步推動相關學科向縱深發(fā)展 ． 在這些學科研究的過程中 ，涉及數學知識的廣度和深度都超出了人們的想象 ．
在廣度上 ，幾乎所有數學科目都在這些學科的研究中出現過 ，而不像傳統(tǒng)的學科 ， 如物理主要應用微分幾何 、偏微分方程和群論 ；不僅如此 ，這些學科研究過程中所用的數學理論往往是當前數學界最新的研究成果 ，比如圖像處理中所用的偏微分方程理論 ．這對沒有受過嚴格數學訓練的計算機學者提出了嚴峻挑戰(zhàn) ． 傳統(tǒng)的計算機學科研究所用到的數學主要集中在離散數學 、算法設計 、數值計算和組合數學 ，這些19世紀的數學已經無法滿足當前計算機科學發(fā)展的要求 ．為此 ，眾多的計算機學者一方面呼吁數學工作者加入到計算機科學的研究中 ，同時也積極地將相關的數學理論引入到研究中。
矩陣計算又稱為數值線性代數 ．作為一門數學學科 ，它是眾多理工學科重要的數學工具 ．矩陣理論既是經典數學的基礎課程 ，是一門最有實用價值的數學理論 ，是計算機科學與工程計算的核心 ，已成為現代各科技領域處理大量有限維空間形式與數量關系強有力的工具 ，計算機科學和工程的問題最終都轉化成矩陣的運算與求解 ．特別是計算機的廣泛應用為矩陣論的應用開辟了廣闊的前景 ．例如 ，系統(tǒng)工程 、優(yōu)化方法以及穩(wěn)定性理論等 ，都與矩陣論有著密切的聯(lián)系。