傅里葉變換

在學(xué)習(xí)傅里葉變換之前，我們先來(lái)了解一下歐拉公式。順便說(shuō)一下，『歐拉公式』在世界上最偉大的十個(gè)公式中排第二名，而『傅里葉變換』在世界上最偉大的十個(gè)公式中排第七名。

歐拉公式

在數(shù)學(xué)中，對(duì)于數(shù)的集合，在一維數(shù)軸上，加法操作可以視為沿著數(shù)軸的平移，而乘法操作則可以視為數(shù)軸上的伸縮變化。具體來(lái)說(shuō)：

• 加法：在一維數(shù)軸上，給一個(gè)數(shù)加上另一個(gè)數(shù)，相當(dāng)于將該數(shù)在數(shù)軸上向右（或向左，如果是負(fù)數(shù)）平移相應(yīng)的距離
• 乘法：在一維數(shù)軸上，將一個(gè)數(shù)乘以另一個(gè)數(shù)，則相當(dāng)于將該數(shù)在數(shù)軸上按比例伸縮

在二維平面上，如果我們想將一個(gè)點(diǎn)（比如$(1,0)$）移動(dòng)到另一個(gè)點(diǎn)，可以先在橫軸方向上平移，再在縱軸方向上平移即可實(shí)現(xiàn)。
除了平移外，也可以利用伸縮和旋轉(zhuǎn)來(lái)達(dá)到同樣的效果。伸縮操作即為點(diǎn)的倍乘，但旋轉(zhuǎn)該如何表達(dá)呢？

1. 僅使用旋轉(zhuǎn)，就可以將$(1,0)$變換到$(?1,0)$
2. 在復(fù)平面中，存在一個(gè)定義：$?1=i\times i$$\to$當(dāng)單位$i$表示旋轉(zhuǎn)$90°$時(shí)，進(jìn)行兩次相同的操作即可從$(1,0)$變換到$(?1,0)$
3. 如果一次$i$操作是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$90°$，正好會(huì)落在二維平面y軸上的$(0,1)$，該點(diǎn)距離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度
4. 如果$y$軸自帶虛數(shù)單位，如$i,2i,3i?$，即可通過(guò)伸縮和旋轉(zhuǎn)表示二維平面上的所有點(diǎn)

請(qǐng)大家思考一個(gè)問(wèn)題：$i$為什么可以表示旋轉(zhuǎn)？
我們來(lái)看一下旋轉(zhuǎn)的定義：旋轉(zhuǎn)是沿著一個(gè)圓弧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程
可以通過(guò)泰勒展開(kāi)式得到一個(gè)完美的橋梁，用來(lái)說(shuō)明$i$可以表示旋轉(zhuǎn)的原因
$\begin{array}{c}{e}^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+?\\ sin(x)=x?\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+?\\ cos(x)=1?\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+?\end{array}$$?$代入$x=i\theta$得：$\begin{array}{rl}{e}^{i\theta }& =1+i\theta +\frac{1}{2!}(i\theta {)}^2+\frac{1}{3!}(i\theta {)}^3+\frac{1}{4!}(i\theta {)}^4+\frac{1}{5!}(i\theta {)}^5+?\\ & =(1?\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+?)+i(\theta ?\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}+?)\\ & =cos(\theta )+isin(\theta )\end{array}$

$e^{i\theta }$表示一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的單位圓$?$$e^{i\theta }$等價(jià)于一種旋轉(zhuǎn)，$\theta$為旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)

傅里葉變換

傅里葉變換是一個(gè)分解聲音的過(guò)程，其公式為：$F(f)={\int }_{?\infty }^{\infty }g(t)e^{?2\pi ift}dt$
乍一看這個(gè)公式，肯定是看不懂的，我們需要對(duì)其進(jìn)行分解，然后逐步進(jìn)行理解
既然傅里葉變換是一個(gè)分解聲音的過(guò)程，我們來(lái)看一下什么是聲音。
聲音的氣壓是一個(gè)隨時(shí)間以正弦函數(shù)形態(tài)不斷震蕩的圖像
假設(shè)，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)音A的頻率是440Hz，則其每秒鐘振動(dòng)440次；另外一個(gè)低音D的頻率是240Hz，則其每秒鐘振動(dòng)240次。如果兩個(gè)音同時(shí)發(fā)生，產(chǎn)生的氣壓隨時(shí)間變化的曲線就是把所有時(shí)間點(diǎn)的振幅加起來(lái)
而傅里葉變換，就是從一段隨時(shí)間變化的氣壓曲線中，找到組成該氣壓曲線的原始?xì)鈮呵€
假設(shè)我們有一個(gè)每秒鐘3拍子的聲音信號(hào)，它的圖像如下（Intensity為強(qiáng)度），我們只關(guān)注前面的4.5秒

繞圈記錄法

繞圈記錄法：同一事物的不同角度$\to$下面的動(dòng)圖是最關(guān)鍵的一步，是【看到】傅立葉變換的核心部分

1. 把黃色曲線纏繞到一個(gè)圓上，大小是原本信號(hào)的振幅
2. 圓周圍的圖像由白色的箭頭繪制而成，速度可變，上圖中的白色箭頭移動(dòng)速度是每秒鐘轉(zhuǎn)過(guò)半圈
3. 此時(shí)，有兩個(gè)頻率在起作用，一個(gè)是信號(hào)的頻率：3次震蕩/秒；另一個(gè)是圖像纏繞中心圓的頻率，為0.5圈/秒。第二個(gè)頻率可以自由改變，相當(dāng)于一個(gè)變量，下面的動(dòng)圖直觀的展現(xiàn)了纏繞速度變化時(shí)的可視化表現(xiàn)

從最開(kāi)始的 0.79圈/秒一直變化到1.55圈/秒，再到最后的恰好是3圈/秒，和原來(lái)的信號(hào)3次震蕩/秒相同，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)非常穩(wěn)定的圖像
其實(shí)，我們只是把一個(gè)水平的軸纏繞到一個(gè)單位圓上，并用另一個(gè)速度的記錄標(biāo)尺（白色箭頭）來(lái)畫(huà)圖，從另一個(gè)角度（維度）來(lái)看我們的信號(hào)

質(zhì)心記錄法

質(zhì)心記錄法：新維度的特征提取
我們可以發(fā)現(xiàn)，在上面動(dòng)圖中，當(dāng)白色箭頭記錄的速度在某些特定的值時(shí)，畫(huà)出來(lái)的圖形非常穩(wěn)定、形態(tài)清晰
我們?cè)谏厦嫣岬搅艘粋€(gè)可以自由改變的轉(zhuǎn)圈速度，我們可以將這個(gè)可變化的轉(zhuǎn)圈速度作為傅里葉變換中的自變量
至于輸出是什么，我們可以觀察下面的動(dòng)圖。當(dāng)圖像很混沌（沒(méi)有規(guī)律，混亂的）時(shí)候，圖像基本關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；穩(wěn)定時(shí)，其實(shí)是“頭重腳輕”的。描述“頭重腳輕”最好的方法是使用質(zhì)心，下面的動(dòng)圖直觀展現(xiàn)了質(zhì)心特征對(duì)圖像特征的描述能力（紅色點(diǎn)為質(zhì)心）

考慮到質(zhì)心是一個(gè)二維坐標(biāo)，為了簡(jiǎn)潔和直觀，取質(zhì)心的橫坐標(biāo)來(lái)表示質(zhì)心的特征
現(xiàn)在，我們可以得到傅里葉變換的輸入和輸出：

• 輸入（橫坐標(biāo)）：白色箭頭的繞圈速度
• 輸出（縱坐標(biāo)）：質(zhì)心位置的橫坐標(biāo)

按照上面的說(shuō)明來(lái)記錄繪出圖像，記錄每個(gè)纏繞頻率（速度）對(duì)應(yīng)的質(zhì)心位置（在橫坐標(biāo)等于零點(diǎn)處有一個(gè)很大的值，只是因?yàn)樵瓉?lái)的圖像沒(méi)有關(guān)于橫軸對(duì)稱，有一個(gè)偏移量）

我們可以看到，新圖像的橫坐標(biāo)寫(xiě)的是頻率（Frequency），即纏繞圓圈的速度
我們已經(jīng)得到一個(gè)可以用來(lái)表示信號(hào)頻率的工具，把它應(yīng)用到兩個(gè)聲音的組合圖像中看看效果：

傅里葉變換公式

我們已經(jīng)通過(guò)這樣一個(gè)纏繞機(jī)器完成了時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換

如何使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)轉(zhuǎn)圈記錄機(jī)制呢？

第一步：旋轉(zhuǎn)的表示

上述所有動(dòng)圖中的旋轉(zhuǎn)之所以能夠表示，是基于復(fù)平面上的指數(shù)函數(shù)原理，結(jié)合泰勒展開(kāi)公式來(lái)實(shí)現(xiàn)的

更進(jìn)一步，指數(shù)函數(shù)中，以$e$為底的函數(shù)有著特殊的性質(zhì)，如下面動(dòng)圖所示，$e^{2\pi it}$表示的是一秒鐘一圈的旋轉(zhuǎn)方程，可以通過(guò)頻率$f$控制旋轉(zhuǎn)的速度，圖中為$\frac{1}{10}$

第二步：纏繞的表示

在傅立葉變換中，我們規(guī)定旋轉(zhuǎn)是順時(shí)針的，所以需要先加一個(gè)符號(hào)。假設(shè)原來(lái)的函數(shù)是$g(t)$，將兩者的幅值相乘就能得到纏繞圖像$g(t)e^{?2\pi ift}$

第三步：質(zhì)心的表示

那如何表示質(zhì)心這一概念呢？有一種解決問(wèn)題的途徑是演繹推理，先從簡(jiǎn)單的特例出發(fā)，推廣到一般，最后證明正確性即可
考慮如何求一個(gè)正方形的質(zhì)心位置，我們只需在邊框上取$n$個(gè)等距離分布的點(diǎn)，并且算這幾個(gè)點(diǎn)的位置的平均值。那么推廣到一般情況，也使用類似的采樣點(diǎn)的方式解決，如下面動(dòng)圖所示（紫紅色的點(diǎn)即采樣點(diǎn)），得到$\frac{1}{N}{\sum }_{k=1}^{N}g(t_k)e^{?2\pi iftk}$

隨著采樣點(diǎn)的增加，需要使用積分來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題，如下面動(dòng)圖所示，得到$\frac{1}{t_2?t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}g(t)e^{?2\pi ift}dt$

最終步：整理積分限和系數(shù)

看到常數(shù)項(xiàng)系數(shù)$\frac{1}{t_2?t_1}$，如果忽略表達(dá)倍數(shù)關(guān)系的系數(shù)，對(duì)應(yīng)的含義也會(huì)發(fā)生變化，不再是質(zhì)心，而是信號(hào)存在的時(shí)間越久，位置是質(zhì)心位置乘以一個(gè)倍數(shù)，它的值就越大。持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為3秒，那么新的位置就是原來(lái)質(zhì)心位置的三倍；持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為6秒，就是原來(lái)的6倍
一般傅立葉變換公式的上下限是正負(fù)無(wú)窮，那它的幾何直觀是什么呢？

參考文獻(xiàn)

1、傅里葉變換
2、泰勒公式
3、形象展示傅里葉變換