[NOIP2012 提高組] 開(kāi)車(chē)旅行

題目描述

小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 決定利用假期外出旅行，他們將想去的城市從 $1 $ 到 $n$ 編號(hào)，且編號(hào)較小的城市在編號(hào)較大的城市的西邊，已知各個(gè)城市的海拔高度互不相同，記城市 $i$ 的海拔高度為$h_i$，城市 $i$ 和城市 $j$ 之間的距離 $d_{i,j}$ 恰好是這兩個(gè)城市海拔高度之差的絕對(duì)值，即 $d_{i,j}=|h_i?h_j|$。

旅行過(guò)程中，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 輪流開(kāi)車(chē)，第一天小 $\text{A}$ 開(kāi)車(chē)，之后每天輪換一次。他們計(jì)劃選擇一個(gè)城市 $s$ 作為起點(diǎn)，一直向東行駛，并且最多行駛 $x$ 公里就結(jié)束旅行。

小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 的駕駛風(fēng)格不同，小 $\text{B}$ 總是沿著前進(jìn)方向選擇一個(gè)最近的城市作為目的地，而小 $\text{A}$ 總是沿著前進(jìn)方向選擇第二近的城市作為目的地（注意：本題中如果當(dāng)前城市到兩個(gè)城市的距離相同，則認(rèn)為離海拔低的那個(gè)城市更近）。如果其中任何一人無(wú)法按照自己的原則選擇目的城市，或者到達(dá)目的地會(huì)使行駛的總距離超出 $x$ 公里，他們就會(huì)結(jié)束旅行。

在啟程之前，小 $\text{A}$ 想知道兩個(gè)問(wèn)題：

1、 對(duì)于一個(gè)給定的 $x=x_0$，從哪一個(gè)城市出發(fā)，小 $\text{A}$ 開(kāi)車(chē)行駛的路程總數(shù)與小 $\text{B}$ 行駛的路程總數(shù)的比值最小（如果小 $\text{B}$ 的行駛路程為 $0$，此時(shí)的比值可視為無(wú)窮大，且兩個(gè)無(wú)窮大視為相等）。如果從多個(gè)城市出發(fā)，小 $\text{A}$ 開(kāi)車(chē)行駛的路程總數(shù)與小 $\text{B}$ 行駛的路程總數(shù)的比值都最小，則輸出海拔最高的那個(gè)城市。

2、對(duì)任意給定的 $x=x_i$ 和出發(fā)城市 $s_i$，小 $\text{A}$ 開(kāi)車(chē)行駛的路程總數(shù)以及小 $\text{B}$ 行駛的路程總數(shù)。

輸入格式

第一行包含一個(gè)整數(shù) $n$，表示城市的數(shù)目。

第二行有 $n$ 個(gè)整數(shù)，每?jī)蓚€(gè)整數(shù)之間用一個(gè)空格隔開(kāi)，依次表示城市 $1$ 到城市 $n$ 的海拔高度，即 $h_1,h_2...h_n$，且每個(gè) $h_i$ 都是互不相同的。

第三行包含一個(gè)整數(shù) $x_0$。

第四行為一個(gè)整數(shù) $m$，表示給定 $m$ 組 $s_i$ 和 $x_i$。

接下來(lái)的 $m$ 行，每行包含 $2$ 個(gè)整數(shù) $s_i$ 和 $x_i$，表示從城市$s_i$ 出發(fā)，最多行駛 $x_i$ 公里。

輸出格式

輸出共 $m+1$ 行。

第一行包含一個(gè)整數(shù) $s_0$，表示對(duì)于給定的 $x_0$，從編號(hào)為 $s_0$ 的城市出發(fā)，小 $\text{A}$ 開(kāi)車(chē)行駛的路程總數(shù)與小 $\text{B}$ 行駛的路程總數(shù)的比值最小。

接下來(lái)的 $m$ 行，每行包含 $2$ 個(gè)整數(shù)，之間用一個(gè)空格隔開(kāi)，依次表示在給定的 $s_i$ 和 $x_i$ 下小 $\text{A}$ 行駛的里程總數(shù)和小 $\text{B}$ 行駛的里程總數(shù)。

樣例 #1

樣例輸入 #1

4 
2 3 1 4 
3 
4 
1 3 
2 3 
3 3 
4 3

樣例輸出 #1

1 
1 1 
2 0 
0 0 
0 0

樣例 #2

樣例輸入 #2

10 
4 5 6 1 2 3 7 8 9 10 
7 
10 
1 7 
2 7 
3 7 
4 7 
5 7 
6 7 
7 7 
8 7 
9 7 
10 7

樣例輸出 #2

2 
3 2 
2 4 
2 1 
2 4 
5 1 
5 1 
2 1 
2 0 
0 0 
0 0

提示

【樣例1說(shuō)明】

各個(gè)城市的海拔高度以及兩個(gè)城市間的距離如上圖所示。

如果從城市 $1$ 出發(fā)，可以到達(dá)的城市為 $2,3,4$，這幾個(gè)城市與城市 $1$ 的距離分別為 $1,1,2$，但是由于城市 $3$ 的海拔高度低于城市 $2$，所以我們認(rèn)為城市 $3$ 離城市 $1$ 最近，城市 $2$ 離城市 $1$ 第二近，所以小A會(huì)走到城市 $2$。到達(dá)城市 $2$ 后，前面可以到達(dá)的城市為 $3,4$，這兩個(gè)城市與城市 $2$ 的距離分別為 $2,1$，所以城市 $4$ 離城市 $2$ 最近，因此小B會(huì)走到城市$4$。到達(dá)城市 $4$ 后，前面已沒(méi)有可到達(dá)的城市，所以旅行結(jié)束。

如果從城市 $2$ 出發(fā)，可以到達(dá)的城市為 $3,4$，這兩個(gè)城市與城市 $2$ 的距離分別為 $2,1$，由于城市 $3$ 離城市 $2$ 第二近，所以小 $\text{A}$ 會(huì)走到城市 $3$。到達(dá)城市 $3$ 后，前面尚未旅行的城市為 $4$，所以城市 $4$ 離城市 $3$ 最近，但是如果要到達(dá)城市 $4$，則總路程為 $2+3=5>3$，所以小 $\text{B}$ 會(huì)直接在城市 $3$ 結(jié)束旅行。

如果從城市 $3$ 出發(fā)，可以到達(dá)的城市為 $4$，由于沒(méi)有離城市 $3$ 第二近的城市，因此旅行還未開(kāi)始就結(jié)束了。

如果從城市 $4$ 出發(fā)，沒(méi)有可以到達(dá)的城市，因此旅行還未開(kāi)始就結(jié)束了。

【樣例2說(shuō)明】

當(dāng) $x=7$ 時(shí)，如果從城市 $1$ 出發(fā)，則路線為 $1\to 2\to 3\to 8\to 9$，小 $\text{A}$ 走的距離為 $1+2=3$，小 $\text{B}$ 走的距離為 $1+1=2$。（在城市 $1$ 時(shí)，距離小 $\text{A}$ 最近的城市是 $2$ 和 $6$，但是城市 $2$ 的海拔更高，視為與城市 $1$ 第二近的城市，所以小 $\text{A}$ 最終選擇城市 $2$；走到$9$ 后，小 $\text{A}$ 只有城市 $10$ 可以走，沒(méi)有第二選擇可以選，所以沒(méi)法做出選擇，結(jié)束旅行）

如果從城市 $2$ 出發(fā)，則路線為 $2\to 6\to 7$，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 走的距離分別為 $2,4$。

如果從城市 $3$ 出發(fā)，則路線為 $3\to 8\to 9$，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 走的距離分別為$2,1$。

如果從城市 $4$ 出發(fā)，則路線為 $4\to 6\to 7$，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 走的距離分別為 $2,4$。

如果從城市 $5$ 出發(fā)，則路線為 $5\to 7\to 8$，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 走的距離分別為 $5,1$。

如果從城市 $6$ 出發(fā)，則路線為 $6\to 8\to 9$，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 走的距離分別為$5,1$。

如果從城市 $7$ 出發(fā)，則路線為 $7\to 9\to 10$，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 走的距離分別為$2,1$。

如果從城市 $8$ 出發(fā)，則路線為 $8\to 10$，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 走的距離分別為$2,0$。

如果從城市 $9$ 出發(fā)，則路線為 $9$，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 走的距離分別為 $0,0$（旅行一開(kāi)始就結(jié)束了）。

如果從城市 $10$ 出發(fā)，則路線為 $10$，小 $\text{A}$ 和小 $\text{B}$ 走的距離分別為$0,0$。

從城市 $2$ 或者城市 $4$ 出發(fā)小 $\text{A}$ 行駛的路程總數(shù)與小 $\text{B}$ 行駛的路程總數(shù)的比值都最小，但是城市 $2$ 的海拔更高，所以輸出第一行為 $2$。

【數(shù)據(jù)范圍與約定】

對(duì)于 $30\%$ 的數(shù)據(jù)，有$1\le n\le 20,1\le m\le 20$；
對(duì)于$40\%$ 的數(shù)據(jù)，有$1\le n\le 100,1\le m\le 100$；
對(duì)于 $50\%$ 的數(shù)據(jù)，有$1\le n\le 100,1\le m\le 1000$；
對(duì)于 $70\%$ 的數(shù)據(jù)，有$1\le n\le 1000,1\le m\le 10^4$；
對(duì)于 $100\%$ 的數(shù)據(jù)：$1\le n,m\le 10^5$，$?10^9\le h_i\le 10^9$，$1\le s_i\le n$，$0\le x_i\le 10^9$
數(shù)據(jù)保證 $h_i$ 互不相同。

完整代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
const int N=1e5+200,INF=2e9;
struct City
{int id,al;//identifier,altitudefriend bool operator < (City a,City b){return a.al<b.al; }
};
int n,m,x0,la,lb,ansid;
int h[N],s[N],x[N];
int f[20][N][5],da[20][N][5],db[20][N][5];
double ans=INF*1.0;
multiset<City> q;
void calc(int S,int X)
{int p=S;la=0,lb=0;for(int i=18;i>=0;i--)if(f[i][p][0] && la+lb+da[i][p][0]+db[i][p][0]<=X){la+=da[i][p][0];lb+=db[i][p][0];p=f[i][p][0];}
}
void pre()
{h[0]=INF,h[n+1]=-INF;City st;//startst.id=0,st.al=INF;q.insert(st),q.insert(st);st.id=n+1,st.al=-INF;q.insert(st),q.insert(st);for(int i=n;i;i--){int ga,gb;City now;now.id=i,now.al=h[i];q.insert(now);set<City>::iterator p=q.lower_bound(now);p--;int lt=(*p).id,lh=(*p).al;//lastp++,p++;int ne=(*p).id,nh=(*p).al;//nextp--;if(abs(nh-h[i])>=abs(h[i]-lh)){gb=lt;p--,p--;if(abs(nh-h[i])>=abs(h[i]-(*p).al))ga=(*p).id;elsega=ne;}else{gb=ne;p++,p++;if(abs((*p).al-h[i])>=abs(h[i]-lh))ga=lt;elsega=(*p).id;}//2、預(yù)處理f[0][i][0]=ga,f[0][i][1]=gb;da[0][i][0]=abs(h[i]-h[ga]);db[0][i][1]=abs(h[i]-h[gb]);//3、DP初值}for(int i=1;i<=18;i++)for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=0;k<2;k++)if(i==1){f[1][j][k]=f[0][f[0][j][k]][1-k];da[1][j][k]=da[0][j][k]+da[0][f[0][j][k]][1-k];db[1][j][k]=db[0][j][k]+db[0][f[0][j][k]][1-k];	}else{f[i][j][k]=f[i-1][f[i-1][j][k]][k];da[i][j][k]=da[i-1][j][k]+da[i-1][f[i-1][j][k]][k];db[i][j][k]=db[i-1][j][k]+db[i-1][f[i-1][j][k]][k];}//3、倍增優(yōu)化DP
}
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&h[i]);cin>>x0>>m;for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&s[i],&x[i]);//1、輸入pre();for(int i=1;i<=n;i++){calc(i,x0);double nowans=(double)la/(double)lb;if(nowans<ans){ans=nowans;ansid=i;}elseif(nowans==ans && h[ansid]<h[i])ansid=i;}cout<<ansid<<endl;//4、求解問(wèn)題1for(int i=1;i<=m;i++){calc(s[i],x[i]);printf("%d %d\n",la,lb);}//5、求解問(wèn)題2return 0;
}