一、為什么做相機(jī)標(biāo)定？

標(biāo)定是為了得到相機(jī)坐標(biāo)系下的點(diǎn)和圖像像素點(diǎn)的映射關(guān)系，為攝影幾何、計(jì)算機(jī)視覺(jué)等應(yīng)用做準(zhǔn)備。

二、為什么需要張正友標(biāo)定法？

張正友標(biāo)定法使手工標(biāo)定相機(jī)成為可能，使相機(jī)標(biāo)定不再需要精密的設(shè)備幫助。但內(nèi)參標(biāo)定的精度卻需要依賴采集數(shù)據(jù)的質(zhì)量。精度不如專業(yè)設(shè)備的結(jié)果，不過(guò)在日常科研等對(duì)精度要求不是非常高的領(lǐng)域足夠滿足。

三、為什么張正友使手工標(biāo)定相機(jī)成為可能？

我們先思考一個(gè)問(wèn)題，以針孔模型為例相機(jī)標(biāo)定需要那些參數(shù)：

內(nèi)參：fx fy cx cy k1 k2?p1 p2；

外參：R t。

假如我們用n張圖像來(lái)標(biāo)定相機(jī)的話，我們需要求解8 +（3 + 3）x n = 6n + 8個(gè)參數(shù)。求解這么多參數(shù)需要使用最優(yōu)化。構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)：

其中為圖像上角點(diǎn)，為投影點(diǎn)。

我們知道優(yōu)化問(wèn)題最害怕的就是遇到局部最優(yōu)，導(dǎo)致優(yōu)化后的結(jié)果和真實(shí)值相差較大。為了解決局部最優(yōu)，最好的方法是提供較為準(zhǔn)確的初值，這就是張正友標(biāo)定法最重要的作用。通過(guò)正交矩陣性質(zhì)計(jì)算出不考慮畸變的相機(jī)內(nèi)參和外參初值，然后利用最優(yōu)化的方法，便可以得到精確的內(nèi)參。

四、如何推導(dǎo)？

已知相機(jī)成像過(guò)程：世界坐標(biāo)系->相機(jī)坐標(biāo)系->相機(jī)坐標(biāo)系->像素坐標(biāo)系。可以用下面公式描述：

其中M為世界坐標(biāo)系點(diǎn)，R t為世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移量，A為相機(jī)內(nèi)參矩陣，s為比例系數(shù)。

將具體數(shù)值代入公式可以獲得：

其中r為R矩陣的列向量。已知世界坐標(biāo)系在實(shí)際中選取為標(biāo)定板坐標(biāo)系，因此世界坐標(biāo)系下點(diǎn)的Z值為零，因此可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)。

由于相機(jī)圖像和標(biāo)定板都是平面，兩個(gè)平面上坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系就可以利用單應(yīng)矩陣。因此可以引入單應(yīng)矩陣H：

用列向量表示H得：

由旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣可以得到兩條性質(zhì)：列向量?jī)蓛烧?/strong>，且列向量是單位向量，因此可以得到：

因此可以用B表示:

將B代入上式并展開(kāi)得到：

其中：

最后得到：

到現(xiàn)在，需要先求解H矩陣，然后利用H矩陣求解B矩陣。已知H矩陣有八個(gè)未知數(shù)（約去比例系數(shù)，使矩陣最后一項(xiàng)為1），利用下面公式，一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)可以提供兩個(gè)約束，因此需要四個(gè)點(diǎn)可以求出單應(yīng)矩陣H；

有了H矩陣值后可以得到值，已知B是對(duì)稱矩陣因此有六個(gè)未知數(shù)，每個(gè)單應(yīng)矩陣H可以提供兩個(gè)約束，所以求解B最少需要三個(gè)不同的單應(yīng)矩陣，也就是三個(gè)不同視角的標(biāo)定圖像。

求出B后便可以求解內(nèi)參矩陣A，再得到A后利用下面公司便可以求出外參矩陣R和t:

至此便得到了相機(jī)內(nèi)參的初值和不同標(biāo)定圖像外參的初值，然后再利用上面提到的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化得到最后標(biāo)定的內(nèi)參。

總結(jié)：

1.張正友標(biāo)定法最重要的地方是計(jì)算出了相機(jī)內(nèi)參和外參的數(shù)值解，然后作為初始值代入的優(yōu)化函數(shù)，解決了局部最優(yōu)化的問(wèn)題，使手工標(biāo)定相機(jī)內(nèi)參成為可能。

2.由于相機(jī)標(biāo)定數(shù)據(jù)是手工采集，因此相機(jī)內(nèi)參標(biāo)定的精度取決于數(shù)據(jù)質(zhì)量。涉及標(biāo)定板選取和采集圖像的注意事項(xiàng)，后續(xù)文章會(huì)介紹如何采集圖像。

3.由于相機(jī)內(nèi)外參在投影過(guò)程具有耦合關(guān)系，所以在優(yōu)化時(shí)外參結(jié)果不準(zhǔn)確也會(huì)影響內(nèi)參結(jié)果，導(dǎo)致重投影誤差很小但是得到的相機(jī)內(nèi)參誤差較大。

4.在需要精確內(nèi)參標(biāo)定結(jié)果時(shí)推薦使用相機(jī)廠商標(biāo)定結(jié)果，在專業(yè)相機(jī)內(nèi)參標(biāo)定時(shí)，利用機(jī)械臂抓住相機(jī)在特定位置進(jìn)行采圖。相機(jī)外參有非常準(zhǔn)確的初值，在優(yōu)化時(shí)可以得到非常高的內(nèi)參精度。