如下為：2023華數(shù)杯數(shù)學(xué)建模競賽C題?母親身心健康對嬰兒成長的影響?的思路解析

C題 母親身心健康對嬰兒成長的影響

母親是嬰兒生命中最重要的人之一，她不僅為嬰兒提供營養(yǎng)物質(zhì)和身體保護，還為嬰兒提供情感支持和安全感。母親心理健康狀態(tài)的不良狀況，如抑郁、焦慮、 壓力等，可能會對嬰兒的認知、情感、社會行為等方面產(chǎn)生負面影響。壓力過大的母親可能會對嬰兒的生理和心理發(fā)展產(chǎn)生負面影響，例如影響其睡眠等方面。

附件給出了包括 390名 3 至 12 個月嬰兒以及其母親的相關(guān)數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)涵蓋各種主題，母親的身體指標包括年齡、婚姻狀況、教育程度、妊娠時間、 分娩方式，以及產(chǎn)婦心理指標CBTS（分娩相關(guān)創(chuàng)傷后應(yīng)激障礙問卷）、EPDS （愛丁堡產(chǎn)后抑郁量表）、HADS（醫(yī)院焦慮抑郁量表）和嬰兒睡眠質(zhì)量指標包括整晚睡眠時間、睡醒次數(shù)和入睡方式。

背景分析：從背景中可以看出，本題主要解決母親身心健康對嬰兒成長的影響，我們需要通過對題目給的附件進行數(shù)據(jù)分析，來確定問題結(jié)果。這里就代表不能使用除附件外的自己找的數(shù)據(jù)了。為了對題目更好的分析。我們首先來分析一下附件數(shù)據(jù)。

如圖為附件指標：

我們可以看出，嬰兒行為為非數(shù)值型數(shù)據(jù)，這時我們需要先處理為數(shù)值型。對于非數(shù)值型數(shù)據(jù)進行量化，大家可以使用以下方法：

1標簽編碼

標簽編碼是將一組可能的取值轉(zhuǎn)換成整數(shù)，從而對非數(shù)值型數(shù)據(jù)進行量化的一種方法。例如，在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，對于一個具有多個類別的變量，我們可以給每個類別賦予一個唯一的整數(shù)值，這樣就可以將其轉(zhuǎn)換為數(shù)值型數(shù)據(jù)。

2獨熱編碼onehot

獨熱編碼是將多個可能的取值轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)組的一種方法。在獨熱編碼中，每個可能取值對應(yīng)一個長度為總共可能取值個數(shù)的二進制數(shù)組，其中只有一個元素為1，其余元素均為0。例如，對于一個性別變量，可以采用獨熱編碼將“男”和“女”分別轉(zhuǎn)換為[1, 0]和[0, 1]。

3分類計數(shù)

分類計數(shù)是將非數(shù)值型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為數(shù)值型數(shù)據(jù)的一種簡單方法。在分類計數(shù)中，我們根據(jù)某些特定屬性（比如學(xué)歷、職業(yè)等）來對數(shù)據(jù)進行分類，然后統(tǒng)計每個類別的數(shù)量或頻率。例如，在調(diào)查問卷中，我們可以對某個問題的回答按照“是”、“否”和“不確定”三個類別進行分類，并計算每個類別的數(shù)量或頻率。

4主成分分析

主成分分析是將多維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為低維度表示的一種方法。在主成分分析中，我們通過找到最能解釋數(shù)據(jù)變異的主成分來對原始數(shù)據(jù)進行降維處理。這樣就可以將非數(shù)值型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為數(shù)值型數(shù)據(jù)。

這里建議使用標簽編碼/獨熱編碼，最好使用標簽編碼，因為這個指標的數(shù)據(jù)是存在大小關(guān)系的。

另外，對于整晚睡眠時間，需要將其轉(zhuǎn)換為數(shù)值型數(shù)據(jù)，也就是比如10:30，需要轉(zhuǎn)換為10.5，這樣方便后續(xù)進行計算分析。

數(shù)據(jù)預(yù)處理另一個很重要的步驟是：歸一化處理，以避免量綱對建模結(jié)果的影響，如下是數(shù)據(jù)歸一化的代碼：

import pandas as pd
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler# 讀取數(shù)據(jù)
data = pd.read_excel('your_dataset.xlsx')# 提取需要進行歸一化的指標列
features_to_normalize = ['age', 'education', 'pregnancy_time', 'CBTS', 'EPDS', 'HADS', 'sleep_duration', 'awakening_times']# 使用MinMaxScaler進行歸一化
scaler = MinMaxScaler()
data[features_to_normalize] = scaler.fit_transform(data[features_to_normalize])# 輸出歸一化后的數(shù)據(jù)
print(data)

上面的代碼需要將your_dataset.xlsx替換為你的數(shù)據(jù)集文件名。features_to_normalize列表中包含了需要進行歸一化處理的指標列名。

這里就對數(shù)據(jù)進行完初步的預(yù)處理了，開始看題！

請查閱相關(guān)文獻，了解專業(yè)背景，根據(jù)題目數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，回答下列問題。

1. 許多研究表明，母親的身體指標和心理指標對嬰兒的行為特征和睡眠質(zhì)量有影響，請問是否存在這樣的規(guī)律，根據(jù)附件中的數(shù)據(jù)對此進行研究。

問題1分析：題目問的是母親的身體指標和心理指標對嬰兒的行為特征和睡眠質(zhì)量是否有影響，這里要注意，題目沒有明確說明什么才是這些指標，所以我們需要把題目附件指標與問題相互對應(yīng)。建立母親的身體指標模型、心理指標模型，嬰兒的行為特征模型以及睡眠質(zhì)量模型，這里需要大家自己考慮附件哪些指標是直接相關(guān)的。我在這里說明一下確定后我們需要怎樣去建立這些模型，通常的方法有：

l 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）：PCA是一種線性降維方法，通過找到數(shù)據(jù)集中最重要的主成分來實現(xiàn)降維。它將原始數(shù)據(jù)投影到新的正交坐標系中，使得新坐標系上方差最大化，從而保留了數(shù)據(jù)中最具信息量的特征。

l 線性判別分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）：LDA也是一種線性降維方法，但與PCA不同，LDA是一種監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，主要用于分類任務(wù)。它在降維的同時，試圖最大化類間距離并最小化類內(nèi)距離，以獲得一個更具判別性能的低維表示。

l 局部線性嵌入（Locally Linear Embedding，LLE）：LLE是一種非線性降維方法，通過在局部區(qū)域內(nèi)保持樣本之間的線性關(guān)系來構(gòu)建低維表示。LLE假設(shè)數(shù)據(jù)在高維空間中局部上是線性可分的，并通過重構(gòu)每個樣本與其鄰居之間的線性關(guān)系，將高維數(shù)據(jù)映射到低維空間。

l 非負矩陣分解（Non-negative Matrix Factorization，NMF）：NMF是一種用于非負數(shù)據(jù)的降維方法。它將原始數(shù)據(jù)矩陣分解為兩個非負矩陣的乘積，從而得到潛在的特征表示。NMF常用于圖像處理和文本挖掘等領(lǐng)域。

l t-SNE：t-SNE是一種流行的非線性降維方法，用于可視化高維數(shù)據(jù)。它通過保持樣本之間的局部相似性來將高維數(shù)據(jù)映射到二維或三維空間中。t-SNE能夠很好地展示數(shù)據(jù)中的類別結(jié)構(gòu)和聚類模式。

這里給出PCA的代碼：

from sklearn.decomposition import PCA
import numpy as np# 假設(shè)我們有一個數(shù)據(jù)集 X，其中每一行表示一個樣本，每一列表示一個特征
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])# 創(chuàng)建PCA對象，并指定要保留的主成分數(shù)量
pca = PCA(n_components=2)# 對數(shù)據(jù)進行降維
X_pca = pca.fit_transform(X)# 輸出降維后的結(jié)果
print(X_pca)

在上述代碼中，首先導(dǎo)入了PCA類和numpy庫。然后，定義了一個包含樣本的二維數(shù)組X。接下來，創(chuàng)建了一個PCA對象，并通過n_components參數(shù)指定要保留的主成分數(shù)量為2。然后，使用fit_transform方法對數(shù)據(jù)進行降維得到X_pca，它表示降維后的數(shù)據(jù)集。

然后可以使用一些可視化方法，來直觀展示降維后的結(jié)果。如下為可能的可視化方法：

l 散點圖：對于二維或三維的數(shù)據(jù)集，我們可以通過散點圖將降維后的數(shù)據(jù)可視化。如果我們只保留了兩個主成分，我們可以使用散點圖將樣本在這兩個主成分上的投影呈現(xiàn)出來。不同類別的樣本可以使用不同的顏色或符號進行區(qū)分，以便更好地理解數(shù)據(jù)的分布情況。

l 3D 散點圖：如果我們保留了三個主成分，我們可以使用三維散點圖將樣本在這三個主成分上的投影呈現(xiàn)出來。這可以幫助我們更好地觀察數(shù)據(jù)在多個維度上的分布情況。

l 可解釋方差比例圖：可解釋方差比例圖顯示了每個主成分所解釋的總方差的比例。通過繪制累積方差比例曲線，我們可以確定需要保留的主成分數(shù)量，以保留足夠的信息量。該圖可以幫助我們選擇合適的主成分數(shù)量來進行降維。

l 生物特征圖（Biplot）：生物特征圖結(jié)合了原始特征和主成分之間的關(guān)系。在二維降維情況下，我們可以將原始特征顯示為箭頭，并將主成分的投影表示為點。這樣可以更好地理解原始特征如何與主成分相關(guān)。

在得到題目所需要的四個特征后，對其進行相關(guān)性分析/關(guān)聯(lián)分析，即可得到最后的影響關(guān)系。這時最好繪制熱力圖來直觀展示影響情況。如下是pyrhon的熱力圖代碼：

import seaborn as sns
import numpy as np# 假設(shè)我們有一個二維數(shù)據(jù)集 data
data = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])# 使用Seaborn繪制熱力圖
sns.heatmap(data)# 顯示圖形
plt.show()

如果想繪制更好看的，可以在網(wǎng)上查找：python熱力圖繪制代碼即可。

2. 嬰兒行為問卷是一個用于評估嬰兒行為特征的量表，其中包含了一些關(guān)于嬰兒情緒和反應(yīng)的問題。我們將嬰兒的行為特征分為三種類型：安靜型、中等型、矛盾型。請你建立嬰兒的行為特征與母親的身體指標與心理指標的關(guān)系模型。 數(shù)據(jù)表中最后有20組（編號391-410號）嬰兒的行為特征信息被刪除，請你判斷他們是屬于什么類型。

問題2分析：問題2很明顯是需要建立一個預(yù)測模型，需要我們定義好自變量和因變量，然后用合適的模型算法建立這兩者之間的關(guān)系。推薦的方法有：多元線性回歸、隨機森林、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、非線性擬合等方法。這里一定要用到我前面提到的，對嬰兒的行為特征進行量化處理。（推薦設(shè)置為1，2，3，理由之前說了）之后就很好辦了，這些方法都是很好的預(yù)測方法，我認為題目較為簡單，可以不使用復(fù)雜算法，多元線性回歸即可解決。如下是多元線性回歸的相關(guān)代碼：

import statsmodels.api as sm
import pandas as pd# 假設(shè)我們有一個包含多個特征和目標變量的數(shù)據(jù)集 data，其中每一行表示一個樣本
data = pd.DataFrame({'x1': [1, 2, 3, 4, 5],'x2': [6, 7, 8, 9, 10],'y': [11, 12, 13, 14, 15]})# 提取自變量（特征）和因變量（目標變量）
X = data[['x1', 'x2']]
y = data['y']# 添加常數(shù)列作為截距項，如果你不需要截距項，可以省略此步驟
X = sm.add_constant(X)# 創(chuàng)建多元線性回歸模型并擬合數(shù)據(jù)
model = sm.OLS(y, X)
results = model.fit()# 輸出回歸模型的詳細結(jié)果
print(results.summary())

3. 對母親焦慮的干預(yù)有助于提高母親的心理健康水平，還可以改善母嬰交互質(zhì)量，促進嬰兒的認知、情感和社交發(fā)展。CBTS、EPDS、HADS的治療費用相對于患病程度的變化率均與治療費用呈正比，經(jīng)調(diào)研，給出了兩個分數(shù)對應(yīng)的治療費用，詳見表1?，F(xiàn)有一個行為特征為矛盾型的嬰兒，編號為238。請你建立模型，分析最少需要花費多少治療費用，能夠使嬰兒的行為特征從矛盾型變?yōu)橹械刃?#xff1f;若要使其行為特征變?yōu)榘察o型，治療方案需要如何調(diào)整？

問題3分析：這道題目要注意的是，題目要求的是要分析最少的消耗，那么我們在限定閾值的時候就可以相對寬松一點?？梢栽O(shè)置置信區(qū)間。

題目說明了是呈正比的，那么我們需要假設(shè)具體的正比關(guān)系，比如線性相關(guān)/非線性，實際此題為多目標規(guī)劃問題，可以從前面建立的模型入手，算出具體238號是多少分？盡量在2.5-3.5之間，然后看他如何調(diào)整其他指標后，可以在得分低的情況下，治療費用盡可能少。也就是以這兩者為目標，建立目標函數(shù)即可。如下給大家簡單介紹下多目標規(guī)劃的步驟：

l 確定目標：明確問題中的多個目標函數(shù)，并將其形式化表示。

l 確定決策變量：確定可以調(diào)整的決策變量，這些變量將影響目標函數(shù)的值。

l 定義約束條件：確定限制決策變量的約束條件，包括等式約束和不等式約束，以滿足實際問題的限制。

l 建立數(shù)學(xué)模型：將目標函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以便進行優(yōu)化求解。這通常涉及到數(shù)學(xué)表達式、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等技術(shù)。

l 選擇優(yōu)化算法：根據(jù)問題的特點（如凸性、可微性等），選擇適合的優(yōu)化算法來求解多目標規(guī)劃問題。常見的算法包括遺傳算法、粒子群算法、線性規(guī)劃算法等。

l 求解優(yōu)化問題：利用選擇的優(yōu)化算法，對建立的數(shù)學(xué)模型進行求解，得到一組最優(yōu)的決策變量值。

l 解釋并評估結(jié)果：對求解結(jié)果進行解釋和評估，分析每個目標函數(shù)的最優(yōu)值及其對應(yīng)的決策變量值。

l 制定權(quán)衡方案：根據(jù)實際需求和問題特點，制定權(quán)衡方案來選擇最終的解決方案。這可能涉及到權(quán)重分配、敏感性分析、偏好排序等方法。

l 效果驗證：將確定的解決方案在實踐中執(zhí)行，并對結(jié)果進行評估和驗證，以確保其有效性和可行性。

然后就是代碼了，給大家一個matlab的多目標規(guī)劃代碼：（建議也可以用lingo進行求解）

from pyomo.environ import *# 創(chuàng)建一個具體模型
model = ConcreteModel()# 定義決策變量
model.x = Var(within=NonNegativeReals)
model.y = Var(within=NonNegativeReals)# 定義目標函數(shù)
model.obj1 = Objective(expr=model.x + 2*model.y, sense=minimize)
model.obj2 = Objective(expr=3*model.x + model.y, sense=minimize)# 定義約束條件
model.con1 = Constraint(expr=2*model.x + model.y >= 1)
model.con2 = Constraint(expr=model.x - model.y <= 2)# 求解多目標規(guī)劃問題
opt = SolverFactory('glpk')
results = opt.solve(model)# 輸出結(jié)果
print("Decision Variables:")
print("x =", model.x.value)
print("y =", model.y.value)
print("Objectives:")
print("Objective 1 =", model.obj1.expr())
print("Objective 2 =", model.obj2.expr())

我們首先創(chuàng)建了一個結(jié)構(gòu)體problem，用于存儲優(yōu)化問題的參數(shù)。

然后，我們使用匿名函數(shù)@(x)來定義目標函數(shù)。這里的目標函數(shù)返回一個列向量，其中第一個元素為第一個目標函數(shù)的值，第二個元素為第二個目標函數(shù)的值。

接著，我們設(shè)置初始解x0、變量下界lb、線性不等式約束矩陣Aineq和線性不等式約束向量bineq。

最后，我們調(diào)用multiobjective函數(shù)來求解多目標優(yōu)化問題，并將結(jié)果存儲在result變量中。

通過輸出結(jié)果，我們可以得到?jīng)Q策變量x的取值以及各個目標函數(shù)的最優(yōu)值。

4. 嬰兒的睡眠質(zhì)量指標包含整晚睡眠時間、睡醒次數(shù)、入睡方式。請你對 嬰兒的睡眠質(zhì)量進行優(yōu)、良、中、差四分類綜合評判，并建立嬰兒綜合睡眠質(zhì)量 與母親的身體指標、心理指標的關(guān)聯(lián)模型，預(yù)測最后20組（編號391-410號）嬰 兒的綜合睡眠質(zhì)量。

4-5問及其他助攻（代碼、可視化方法、論文、講解視頻等）請看文末

選題建議如下：2023華數(shù)杯數(shù)學(xué)建模競賽選題建議_DS數(shù)模的博客-CSDN博客

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