TOPSIS(優(yōu)劣解距離)法

1. 基本概念

C. L.Hwang和 K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution),可翻譯為逼近理想解排序法,國內(nèi)常簡稱為優(yōu)劣解距離法。

TOPSIS法是一種常用的綜合評價方法,能充分利用原始數(shù)據(jù)的信息,其結果能精確地反映各評價方案之間的差距。

TOPSIS法引入了兩個基本概念:

• 理想解:設想的最優(yōu)的解(方案),它的各個屬性值都達到各備選方案中的最好的值;
• 負理想解:設想的最劣的解(方案),它的各個屬性值都達到各備選方案中的最壞的值。方案排序的規(guī)則是把各備選方案與理想解和負理想解做比較,若其中有一個方案最接近理想解,而同時又遠離負理想解,則該方案是備選方案中最好的方案。TOPSIS通過最接近理想解且最遠離負理想解來確定最優(yōu)選擇。

2. 模型原理

TOPSIS法是一種理想目標相似性的順序選優(yōu)技術,在多目標決策分析中是一種非常有效的方法。它通過歸一化后(去量綱化)的數(shù)據(jù)規(guī)范化矩陣,找出多個目標中最優(yōu)目標和最劣目標(分別用理歸想一解化和反理想解表示),分別計算各評價目標與理想解和反理想解的距離,獲得各目標與理想解的貼近度,按理想解貼近度的大小排序,以此作為評價目標優(yōu)劣的依據(jù)。貼近度取值在0~1之間,該值愈接近1,表示相應的評價目標越接近最優(yōu)水平;反之,該值愈接近0,表示評價目標越接近最劣水平。

3. 基本步驟

1. 將原始矩陣正向化

   將原始矩陣正向化，就是要將所有的指標類型統(tǒng)一轉化為極大型指標

2. 將正向化矩陣標準化

   標準化的方法有很多種，其主要目的就是去除量綱的影響，保證不同評價指標在同一數(shù)量級，且數(shù)據(jù)大小排序不

3. 計算得分并歸一化

   $S_i=\frac{D_i^{?}}{D_i^{+}+D_i^{?}}$,其中$S_i$為得分,$D_i^{+}$為評價對象與最大值的距離，$D_i^{?}$

為評價對象與最小值的距離。

4. 典型例題

明星Kun想找一個對象，但喜歡他的人太多，不知道怎么選，經(jīng)過層層考察，留下三個候選人。他認為身高165是最好的，體重在90-100斤是最好的。

候選人	顏值	牌氣(爭吵次數(shù))	身高	體重
A	9	10	175	120
B	8	7	164	80
C	6	3	157	90

4.1 矩陣正向化

常見的指標類型：

指標名稱	指標特點	例子
極大型 (效益型) 指標	越大(多)越好	成績、 GDP增速、 企業(yè)利潤
極小型 (成本型) 指標	越小(少)越好	費用、 壞品率、污染程度
中間型指標	越接近某個值越好	水質量評估時的PH值
區(qū)間型指標	落在某個區(qū)間最好	體溫、 水中植物性營養(yǎng)物量

在 TOPSIS 方法中，就是要將所有指標進行統(tǒng)一正向化，即統(tǒng)一轉化為極大型指標。 那么就需要極小型、中間型以及區(qū)間型的指標進行轉化為極大型指標。

指標名稱	公式
極大型(效益型)指標	/
極小型(成本型)指標	$\tilde{x}=max?x$, $\tilde{x}$為指標值,$max$為指標最大值,$x$為指標值
中間型指標	{ x i } \{x_i\} {xi?} 是一組中間型序列，最優(yōu)值是 $x_{best}$，$M = max{
區(qū)間型指標	$x_i$是一組區(qū)間型序列，最佳區(qū)間為$[a,b]$，正向化公式如下 M = m a x { a ? m i n { x i } , m a x { x i } ? b } , x ~ i = { 1 ? a ? x i M , x i < a 1 , a ≤ x i ≤ b 1 ? x i ? b M , x i > b M=max\{a-min\{x_i\}, max\{x_i\}-b\}, \widetilde{x}_i=\begin{cases}1-\frac{a-x_i}{M}, x_i<a\\1, a\leq x_i\leq b\\1-\frac{x_i-b}{M}, x_i>b\end{cases} M=max{a?min{xi?},max{xi?}?b},x i?=? ? ??1?Ma?xi??,xi?<a1,a≤xi?≤b1?Mxi??b?,xi?>b?

1. 顏值為極大型指標

2. 脾氣為極小型指標

   候選人	顏值	$max$	$max?x$
   A	10	10	0
   B	7	10	3
   C	3	10	7

3. 身高為中間型指標

   候選人	身高	$x_{best}$	|$x_i?x_{best}$|	${\hat{x}}_i$
   A	175	165	10	1
   B	164	165	1	1/10
   C	157	165	8	8/10

4. 體重為區(qū)間型指標

   候選人	體重	$M$	${\hat{x}}_i$
   A	120	20	0
   B	80	20	1/2
   C	90	20	1

正向化后的矩陣為

候選人	顏值	牌氣(爭吵次數(shù))	身高	體重
A	9	0	0	0
B	8	3	0.9	0.5
C	6	7	0.2	1

4.2 正向矩陣標準化

標準化的目的是消除不同指標量綱的影響

假設有n個要評價的對象，m個評價指標（已經(jīng)正向化了）構成的正向化矩陣如下：
$$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& ?& x_{1m}\\ x_{21}& x_{22}& ?& x_{2m}\\ ?& ?& ?& ?\\ x_{n1}& x_{n2}& ?& x_{nm}\end{array}\right]$$
那么對其標準化后的矩陣記為Z，Z的每一個元素：
$$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}}$$
即（每一個元素/根號下所在列元素的平方和）得到標準化矩陣Z:
$$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& ?& z_{1m}\\ z_{21}& z_{22}& ?& z_{2m}\\ ?& ?& ?& ?\\ z_{n1}& z_{n2}& ?& z_{nm}\end{array}\right]$$
標準化后，還需要給不同指標加上權重，采用的權重確定方法有層次分析法、熵權法、Delphi法、對數(shù)最小二乘法。這里認為各個指標權重相同。

對上述矩陣進行標準化，得

候選人	顏值	牌氣(爭吵次數(shù))	身高	體重
A	0.669	0	0	0
B	0.595	0.394	0.976	0.447
C	0.446	0.919	0.217	0.894

4.3 計算得分并歸一化

定義最大值：

Z + = ( m a x { z 11 , z 21 , ? , z n 1 } , m a x { z 12 , z 22 , ? , z n 2 } , ? , m a x { z 1 m , z 2 m , ? , z n m } ) Z^+=(max\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,max\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\}) Z+=(max{z11?,z21?,?,zn1?},max{z12?,z22?,?,zn2?},?,max{z1m?,z2m?,?,znm?})
定義最小值：
Z ? = ( m i n { z 11 , z 21 , ? , z n 1 } , m i n { z 12 , z 22 , ? , z n 2 } , ? , m i n { z 1 m , z 2 m , ? , z n m } ) Z^-=(min\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,min\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\}) Z?=(min{z11?,z21?,?,zn1?},min{z12?,z22?,?,zn2?},?,min{z1m?,z2m?,?,znm?})
定義第i (i=1,2,…,n) 個評價對象與最大值的距離：
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{+}?z_{ij}{)}^2}$$
定義第i (i=1,2,…,n) 個評價對象與最小值的距離：
$$D_i^{?}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{?}?z_{ij}{)}^2}$$
那么，我們可以計算得出第 i( i=1,2,…,n) 個評價對象未歸一化的得分：
$$S_i=\frac{D_i^{?}}{D_i^{+}+D_i^{?}}$$

很明顯 0≤Si≤1,且 Si 越大 Di+ 越小，即越接近最大值。

我們可以將得分歸一化并換成百分制：
$$\widetilde{S_{\mathrm{i}}}=\frac{S_{\mathrm{i}}}{{\sum }_{i=1}^n{S}_{\mathrm{i}}}\times 100$$

4.4 python代碼實現(xiàn)

import numpy as np# 從用戶輸入?yún)⒃u數(shù)目和指標數(shù)目
print("請輸入?yún)⒃u數(shù)目：")
n = int(input())
print("請輸入指標數(shù)目：")
m = int(input())# 接受用戶輸入的類型矩陣
print("請輸入類型矩陣：1. 極大型 2. 極小型 3. 中間型 4.區(qū)間型")
kind = input().split(" ")# 接受用戶輸入的矩陣并轉化為向量
print("請輸入矩陣：")
A = np.zeros(shape=(n, m))
for i in range(n):A[i] = input().split(" ")A[i] = list(map(float, A[i]))
print("輸入矩陣為：\n{}".format(A))# 極小型指標轉化為極大型指標的函數(shù)def minTomax(maxx, x):x = list(x)ans = [[(maxx-e) for e in x]]return np.array(ans)# 中間型指標轉化為極大型指標的函數(shù)def midTomax(bestx, x):x = list(x)h = [abs(e-bestx) for e in x]M = max(h)if M == 0:M = 1  # 防止最大差值為0的情況ans = [[1-(e/M) for e in h]]return np.array(ans)# 區(qū)間型指標轉化為極大型指標的函數(shù)def regTomax(lowx, highx, x):x = list(x)M = max(lowx-min(x), max(x)-highx)if M == 0:M = 1  # 防止最大差值為0的情況ans = []for i in range(len(x)):if x[i] < lowx:ans.append(1-(lowx-x[i])/M)elif x[i] > highx:ans.append(1-(x[i]-highx)/M)else:ans.append(1)return np.array([ans])# 同一指標類型，將所有指標轉化為極大型指標
X = np.zeros(shape=(n, 1))
for i in range(m):if kind[i] == "1":v = np.array(A[:, i])elif kind[i] == "2":maxA = max(A[:, i])v = minTomax(maxA, A[:, i])elif kind[i] == "3":print("類型三，請輸入最優(yōu)值：")bestA = eval(input())v = midTomax(bestA, A[:, i])elif kind[i] == "4":print("類型四，請輸入?yún)^(qū)間[a,b]值a：")lowA = eval(input())print("類型四，請輸入?yún)^(qū)間[a,b]值b：")highA = eval(input())v = regTomax(lowA, highA, A[:, i])if i == 0:X = v.reshape(-1, 1)  # 如果是第一個指標，直接賦值else:X = np.hstack((X, v.reshape(-1, 1)))  # 如果不是第一個指標，橫向拼接
print("統(tǒng)一指標后矩陣為：\n{}".format(X))# 對統(tǒng)一指標后的矩陣進行標準化處理
X = X.astype(float)  # 將X轉化為浮點型
for i in range(m):X[:, i] = X[:, i]/np.sqrt(sum(X[:, i]**2))  # 對每一列進行歸一化處理，即除以該列的歐幾里得范數(shù)
print("標準化后矩陣為：\n{}".format(X))# 最大值和最小值距離的計算
x_max = np.max(X, axis=0)  # 計算每一列的最大值
x_min = np.min(X, axis=0)  # 計算每一列的最小值
# 計算每一個參評對象與最優(yōu)情況的距離d+
d_z = np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_max, (n, 1))), axis=1))
# 計算每一個參評對象與最差情況的距離d-
d_f = np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_min, (n, 1))), axis=1))
print("每個指標的最大值為：{}".format(x_max))
print("每個指標的最小值為：{}".format(x_min))# 計算每一個參評對象的綜合得分
s = d_f/(d_f+d_z)  # 根據(jù)d+和d-計算每一個參評對象的得分，其中s接近1表示越好，接近0表示越差
Score = 100*s/sum(s)  # 將得分轉換為百分制
for i in range(n):print(f"第{i+1}個參評對象的得分為：{Score[i]}")

輸入：

請輸入?yún)⒃u數(shù)目：
3
請輸入指標數(shù)目：
4
請輸入類型矩陣：1. 極大型 2. 極小型 3. 中間型 4.區(qū)間型
1 2 3 4
請輸入矩陣：
9 10 175 120
8 7 164 80
6 3 157 90
輸入矩陣為：
[[  9.  10. 175. 120.][  8.   7. 164.  80.][  6.   3. 157.  90.]]
類型三，請輸入最優(yōu)值：
165
類型四，請輸入?yún)^(qū)間[a,b]值a：
90
類型四，請輸入?yún)^(qū)間[a,b]值b：
100

輸出:

統(tǒng)一指標后矩陣為：
[[9.  0.  0.  0. ][8.  3.  0.9 0.5][6.  7.  0.2 1. ]]
標準化后矩陣為：
[[0.66896473 0.         0.         0.        ][0.59463532 0.3939193  0.97618706 0.4472136 ][0.44597649 0.91914503 0.21693046 0.89442719]]
每個指標的最大值為：[0.66896473 0.91914503 0.97618706 0.89442719]
每個指標的最小值為：[0.44597649 0.         0.         0.        ]
第1個參評對象的得分為：8.886366735657832
第2個參評對象的得分為：45.653341055701134
第3個參評對象的得分為：45.46029220864103