一、定義

????????幾何定義：向量是一個有方向和大小的量，通常用箭頭表示。向量的起點(diǎn)稱為原點(diǎn)，終點(diǎn)稱為向量的端點(diǎn)。

????????代數(shù)定義：向量是一個有序的數(shù)組，通常表示為列向量或行向量。

行向量就是 1*n的形式（行展開）

列向量就是 n*1的形式（列展開）

二、運(yùn)算

????????加法、數(shù)乘、點(diǎn)積和叉積（向量維度必須相同，若不相同，可以補(bǔ)零）

1、加法

? ? ? ??向量加法是將兩個向量的對應(yīng)分量相加，得到一個新的向量（）。

2、數(shù)乘

????????向量數(shù)乘是將一個向量的每個分量乘以一個標(biāo)量，得到一個新的向量（）。

3、點(diǎn)積

????????向量點(diǎn)積（內(nèi)積）是將兩個向量的對應(yīng)分量相乘，然后將結(jié)果相加，得到一個標(biāo)量。

u?v=++?+? 。

例如：存在兩個向量，求相加、分別乘2、兩者相乘：

解：

注意：加減法、數(shù)乘都是得到向量結(jié)果，向量相乘得到標(biāo)量（準(zhǔn)確數(shù)值）。

三、特征值與特征向量

???????? A 是一個 n×n 的方陣。如果存在一個非零列向量 v 和一個標(biāo)量 λ，使得： Av=λv。

那么λ 稱為矩陣 A的特征值，v 稱為對應(yīng)于特征值 λ 的特征向量（λ可以為0，而v不能為0，并且v是列向量 ）。

? ? ? ? 根據(jù)? Av=λv 推?(A-λE)v=0 （λ? 是標(biāo)量，轉(zhuǎn)化為矩陣才能進(jìn)行運(yùn)算，則需要乘以單位矩陣），

v不可以為零，那么??A-λE? = 0?

例如：

解：求特征值?λ ：

????????A-λE = 0 =>??= (-1- λ)(3-λ)(2-λ) - (-4) * (2-λ) =??(2-λ)((-1- λ)(3-λ)+4) =?(2-λ)((-1- λ)(3-λ) +4) = (2-λ)(λ*λ -3λ +λ +4) =?(2-λ)(λ-1)(λ-1) =0

那么?λ 的值為 2，1

? ? ? ? 求特征向量 (A-λE)v=0 ，則需要?(A-λE) 的矩陣來得到特征向量

在?λ = 2 的情況下：

?=?，初等變化 （第一行和第三行交換；第二行減去第三行；第二行減去第一行；第二行與第三行交換；第二行 乘 4加上第一行， 第二行除以4）最終結(jié)果為?

，令為A1

根據(jù)?(A-λE)v=0 得到 A1 * v = 0 ，則 等價于?? *??=??=>

1*a + 0*b +0*c = 0? ?;????????0*a + 1*b +0*c = 0 ;????????0*a + 0*b +0*c = 0?

綜合可得，a=b=0，c 可以是任何數(shù)值。即 v =?

在?λ = 1 的情況下：

??=??,初等變化 后為?與上面類型一致，則結(jié)果還是a=b=0，c 可以是任何數(shù)值。

四、向量的模

????????向量 v 的模記作 ∥v∥，計算公式為：

五，向量內(nèi)積

????????對于兩個 n 維向量 a=(a1,a2,…,an) 和 b=(b1,b2,…,bn)，它們的內(nèi)積（點(diǎn)積）表示為 a?b，計算公式為：?a *? b=++?+

????????在幾何上，內(nèi)積也可以通過向量的模和它們之間的夾角來表示。具體來說，如果 θ 是向量 a 和 b 之間的夾角，那么內(nèi)積可以表示為：?a * b=||a|| * ||b|| *cos?(θ)

?例如：有兩個三維向量 a 和 b?：a=(2,3,1)，b=(4,?1,2)，

????????其內(nèi)積為?a?b=(2?4)+(3??1)+(1?2)=8-3+2=7

????????a?b=∥a∥∥b∥cos?(θ) =>??cos?(θ) =???a?b /?∥a∥∥b∥ = 7/? ? ?/??=??0.408

六、根據(jù)模擴(kuò)展 - 余弦相似度

????????cos= ab / (|a|*|b|)

????????使用余弦相似度計算兩段文本的相似度

將語句拆分為多個字或詞，之后將兩個語句的所有內(nèi)容放入集合，按照詞在集合中的次數(shù)進(jìn)行整理得到向量（集合中的詞位置就是向量的下標(biāo)），兩個向量求余弦值。

例如；

句子A：這只皮靴號碼大了。那只號碼合適。

句子B：這只皮靴號碼不小，那只更合適。

拆分句子得到：

listA=[這, 只, 皮靴, 號碼, 大, 了, 那, 只, 號碼, 合適]

listB=[這, 只, 皮靴, 號碼, 不, 小, 那, 只, 更, 合適]

放入集合

set=[號碼, 合適, 那, 更, 了, 大, 皮靴, 這, 只, 不, 小]

進(jìn)行排序加次數(shù)計算

freqListA=[2, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 0]

freqListB=[1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 1]

套用余弦函數(shù)計算相似度

cos =?10 /12.94??= 0.77

import math
# 輸入兩個語句
listA1 =input('請輸入第一個句子：')
listB1 =input('請輸入第二個句子：')
print(f'你輸入的第一個句子為：{listA1}' )
print(f'你輸入的第一個句子為：{listB1}' )#拆分后排序
listA =list(listA1)
listB =list(listB1)
listA.sort()
listB.sort()#將拆分內(nèi)容放入集合，去掉重復(fù)后轉(zhuǎn)成列表獲取下標(biāo)
C =set(listA+listB)
listC=list(C)
listC.sort()#創(chuàng)建兩個空列表
freqlsitA=[]
freqlsitB=[]#根據(jù)兩個列表的數(shù)據(jù)并集 求向量列表的長度
for i in range(len(listC)):freqlsitA.append(str(f'{i}'))freqlsitB.append(str(f'{i}'))#根據(jù)數(shù)據(jù)并集內(nèi)容判斷是否存在，若存在則計數(shù)放在與集合同位置的地方，若不存在，則將同位置修改為0
for i,j in enumerate(listC):if j in listA:freqlsitA[listC.index(j)] = listA.count(j)else:freqlsitA[listC.index(j)] = 0if j in listB:freqlsitB[listC.index(j)] = listB.count(j)else:freqlsitB[listC.index(j)] = 0#創(chuàng)建三個變量用來存放數(shù)學(xué)計算所需要的數(shù)據(jù)內(nèi)容
a=0
b=0
c=0
for i in range(len(freqlsitA)):a += freqlsitA[i]*freqlsitB[i]b +=freqlsitA[i] * freqlsitA[i]c +=freqlsitB[i] * freqlsitB[i]#余弦值等于相乘累計 處于平方累計之后平方根的相乘
COS = a /(math.sqrt(b) *math.sqrt(c))if COS >0.65:print('這兩個句子相似')
else:print("這兩個句子不相似")