一·摘要

支持向量機(jī)（SVM）是一種高效的監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，廣泛應(yīng)用于分類和回歸問題。它通過在特征空間中尋找一個最優(yōu)的超平面來區(qū)分不同類別的數(shù)據(jù)點，目標(biāo)是最大化兩類數(shù)據(jù)點之間的間隔，從而提高模型的泛化能力。SVM的關(guān)鍵概念包括超平面、間隔、支持向量以及核函數(shù)，其中核函數(shù)允許SVM處理非線性問題，通過將數(shù)據(jù)映射到更高維的空間來尋找線性可分的超平面。此外，軟間隔和正則化技術(shù)用于處理數(shù)據(jù)的非完全線性可分性，同時控制模型復(fù)雜度，防止過擬合。SVM的實現(xiàn)涉及選擇合適的核函數(shù)，構(gòu)建并求解一個凸二次規(guī)劃問題，以及評估和應(yīng)用訓(xùn)練好的模型。它的優(yōu)點在于模型簡單、易于實現(xiàn)，且具有良好的泛化能力，但計算復(fù)雜度高，對核函數(shù)和參數(shù)選擇敏感，且在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集時可能會遇到性能瓶頸。

二·個人簡介

🏘?🏘?個人主頁：以山河作禮。
🎖?🎖?:Python領(lǐng)域新星創(chuàng)作者，CSDN實力新星認(rèn)證，CSDN內(nèi)容合伙人，阿里云社區(qū)專家博主，新星計劃導(dǎo)師，在職數(shù)據(jù)分析師。

💕💕悲索之人烈焰加身，墮落者不可饒恕。永恒燃燒的羽翼，帶我脫離凡間的沉淪。

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三·基本概念

支持向量機(jī)（Support Vector Machine, SVM）是一種強(qiáng)大的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，主要用于解決分類和回歸問題。它基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論中的結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，通過在特征空間中尋找一個最優(yōu)的決策邊界，即超平面，來區(qū)分不同的數(shù)據(jù)類別。這個超平面的選擇旨在最大化數(shù)據(jù)點到超平面的最短距離，這個距離被稱為間隔（margin）。間隔越大，模型的泛化能力通常越好。

SVM的核心是支持向量，這是一組對確定超平面位置和方向至關(guān)重要的數(shù)據(jù)點，它們是距離超平面最近的點。如果數(shù)據(jù)不是線性可分的，SVM通過引入核函數(shù)將原始數(shù)據(jù)映射到一個更高維的空間，在這個新空間中尋找線性可分的超平面。常用的核函數(shù)包括線性核、多項式核、徑向基函數(shù)（RBF）核等。

為了處理數(shù)據(jù)中的噪聲和異常點，SVM引入了軟間隔的概念，允許一些數(shù)據(jù)點被錯誤分類，以換取更好的泛化性能。同時，通過正則化項控制模型的復(fù)雜度，避免過擬合。SVM的訓(xùn)練過程通常涉及到求解一個凸二次規(guī)劃問題，以找到最優(yōu)的超平面參數(shù)。

見下圖，在一個二維環(huán)境中，其中點R，S，G點和其它靠近中間黑線的點可以看作為支持向量，它們可以決定分類器，也就是黑線的具體參數(shù)。

四·支持向量與超平面

支持向量和超平面是支持向量機(jī)（SVM）算法中的核心概念。下面我將詳細(xì)解釋這兩個概念：

4.1 超平面（Hyperplane）

在數(shù)學(xué)中，超平面是一個線性子空間，其維度比它所在的空間低一維。例如，在二維空間中，超平面是一條直線；在三維空間中，它是平面；在更高維空間中，它仍然是一個線性邊界，但可能難以直觀理解。

在SVM中，超平面用于將數(shù)據(jù)分為不同的類別。對于二維空間，你可以想象超平面是一條直線，將空間分為兩部分，每部分包含一個類別的數(shù)據(jù)點。對于更高維度的空間，超平面是一個更高維的線性邊界，同樣用于分隔數(shù)據(jù)點。

4.2 支持向量（Support Vectors）

支持向量是那些位于距離超平面最近的數(shù)據(jù)點。它們是SVM在訓(xùn)練過程中用來確定超平面位置的關(guān)鍵數(shù)據(jù)點。如果從這些點中移除任何一個，都會改變超平面的位置和方向。

支持向量之所以重要，是因為它們定義了數(shù)據(jù)點之間的邊界（即間隔）。SVM的目標(biāo)是找到這樣一個超平面，使得最近的這些支持向量（即距離超平面最近的數(shù)據(jù)點）與超平面之間的距離（間隔）最大化。這個間隔的大小是衡量模型泛化能力的一個重要指標(biāo)。

4.3 核技巧（Kernel Trick）

在實際應(yīng)用中，數(shù)據(jù)可能不是線性可分的。這時，SVM可以使用核技巧來處理非線性問題。核函數(shù)可以將原始數(shù)據(jù)映射到一個更高維的空間，在新的空間中尋找一個線性可分的超平面。常用的核函數(shù)包括線性核、多項式核、徑向基函數(shù)（RBF）核等。

4.4 軟間隔與正則化

在處理實際數(shù)據(jù)時，可能無法找到一個完美的超平面來完全分開所有數(shù)據(jù)點。這時，SVM引入了軟間隔的概念，允許一些數(shù)據(jù)點被錯誤分類，以換取更好的泛化能力。同時，通過正則化項（通常是法向量的范數(shù)）來控制模型的復(fù)雜度，避免過擬合。

五·SVM算法原理

5.1 點到超平面的距離公式

點到超平面的距離公式用于計算一個點到給定超平面的最短距離。超平面在n維空間中可以用以下方程式表示：

其中：
w 是一個n維的法向量，垂直于超平面。
x 是一個n維的點，位于空間中。
b 是超平面的偏置項。
點 x 到這個超平面的垂直距離 d 可以通過以下公式計算：

這個公式的幾何意義是：從點 𝑥 向超平面作垂線，垂足到點 𝑥的距離就是𝑑這個距離也代表了點 𝑥到超平面的“間隔”。在支持向量機(jī)中，間隔的大小是非常重要的，因為它與模型的泛化能力有關(guān)。SVM的目標(biāo)是找到這樣一個超平面，使得間隔最大化，即所有數(shù)據(jù)點到這個超平面的距離之和最大。

5.2 最大間隔的優(yōu)化模型

線性可分情況下的優(yōu)化模型
當(dāng)數(shù)據(jù)是線性可分的，即存在一個超平面能夠完美地將不同類別的數(shù)據(jù)點分開，SVM的目標(biāo)是找到一個超平面，使得距離最近的兩個數(shù)據(jù)點（即支持向量）到超平面的距離最大化。這個距離被稱為間隔（margin）。
超平面可以表示為：

最大間隔優(yōu)化問題
SVM的目標(biāo)函數(shù)是最大化間隔，可以表示為：

引入拉格朗日乘子

對偶問題

六·松弛變量

在支持向量機(jī)（SVM）中，松弛變量（Slack Variables）是引入的一種機(jī)制，用于處理數(shù)據(jù)集中的非線性可分情況。在理想情況下，如果數(shù)據(jù)是線性可分的，SVM可以找到一個超平面將不同類別的數(shù)據(jù)點完全分開，同時最大化間隔。然而，在現(xiàn)實世界中，很多數(shù)據(jù)集并不是完全線性可分的，這就需要使用松弛變量來允許一些數(shù)據(jù)點被錯誤分類，從而提高模型的泛化能力。

6.1 松弛變量的定義

6.2 優(yōu)化模型的修改

這里的 𝐶是一個正的調(diào)節(jié)參數(shù)，用于控制模型對誤分類的懲罰程度。𝐶的值越大，模型對誤分類的懲罰越重，越傾向于找到?jīng)]有誤分類的解；𝐶的值越小，模型對誤分類的容忍度越高，越容易找到間隔更大的解，即使這意味著更多的誤分類。

6.3 軟間隔與硬間隔

• 硬間隔（Hard Margin）：沒有引入松弛變量的SVM，要求所有數(shù)據(jù)點都在間隔邊界的外側(cè)或邊界上，即不允許任何誤分類。
• 軟間隔（Soft Margin）：引入了松弛變量的SVM，允許一些數(shù)據(jù)點在間隔邊界的內(nèi)側(cè)，即允許一定程度的誤分類。 核技巧與松弛變量.

6.4 核技巧與松弛變量

即使在非線性可分的情況下，通過使用核技巧將數(shù)據(jù)映射到高維空間，結(jié)合松弛變量，SVM仍然可以找到具有最大間隔的超平面。

七·核函數(shù)

核函數(shù)（Kernel Function）是支持向量機(jī)（SVM）中的一種重要工具，它允許SVM在高維空間中有效地處理非線性問題。核函數(shù)的基本思想是通過映射將原始數(shù)據(jù)從低維空間映射到高維空間，在這個高維空間中尋找數(shù)據(jù)的線性可分性。

7.1 核函數(shù)的基本概念

7.2 常用的核函數(shù)

7.3 核函數(shù)的作用

1. 處理非線性問題：通過映射到高維空間，核函數(shù)使得原本在低維空間中線性不可分的數(shù)據(jù)在高維空間中線性可分。
2. 提高模型表達(dá)能力：不同的核函數(shù)可以捕捉數(shù)據(jù)的不同特征，提高模型的表達(dá)能力。
3. 減少計算復(fù)雜度：使用核函數(shù)可以避免直接在高維空間中進(jìn)行計算，從而減少計算復(fù)雜度。