目錄

介紹

確定性時間序列分析方法

1、時間序列的常見趨勢

（1）長期趨勢

（2）季節(jié)變動

（3）循環(huán)變動

（4）不規(guī)則變動

常見的時間序列模型有以下幾類

2、時間序列預測的具體方法

2.1 移動平均法

案例1

【符號說明】

?【預測模型】

2.2 一次指數平滑預測法

（1）預測模型

?（2）加權系數的選擇

?（3）初始值的確定

案例2

?3、差分指數平滑法

案例3

4、具有季節(jié)性特點的時間序列的預測

?案例4

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介紹

? ?將預測對象按照時間順序排成一組序列，稱為時間序列。從時間序列過去的變化規(guī)律，推斷今后變化的可能性及變化趨勢、變化規(guī)律，這就是時間序列預測法。

? ?時間序列模型，其實也是一種回歸模型。其基本原理是，一方面承認事物發(fā)展的延續(xù)性，運用過去時間序列進行統計分析就能推斷事物發(fā)展趨勢；另一方面又充分考慮到偶然因素影響產生的隨機性，為了消除隨機波動的影響，利用歷史數據，進行統計分析，并對數據做適當的處理，進行趨勢預測。

• 優(yōu)點：簡單易行，便于掌握，能重復利用時間序列各項數據，計算速度快，對模型參數動有態(tài)確定能力，精度較好。
• 缺點 ：?不能反映事物內在聯系，不能分析兩個因素的相關關系，只適合作短期預測。

確定性時間序列分析方法

1、時間序列的常見趨勢

（1）長期趨勢

時間序列朝著一定的方向持續(xù)上升或下降或留在某個水平的傾向。它反映了客觀事物主要變化趨勢，記為Tt；

（2）季節(jié)變動

序列按時間呈現短周期變化的規(guī)律，記為St；

（3）循環(huán)變動

通常是周期為一年以上的，由非季節(jié)因素一起的起伏波相似的波動，記為Ct；

（4）不規(guī)則變動

通常分為突然變動和隨機擾動（變動），記為Rt。

常見的時間序列模型有以下幾類

• 加法模型 ? yt=Tt+St+Ct+Rt；（常用）
• 乘法模型 ? yt=Tt×St×Ct×Rt；
• 混合模型 ? yt=Tt×St+Rt；yt=St+Tt×Ct×Rt；

其中，yt為觀測值，隨機變動Rt滿足

?如果在預測時間范圍內，無突然變動或者隨機波動的方差σ2較小，并且有理由認為現在的演變趨勢將持續(xù)發(fā)展到未來，可用一些經驗方法進行預測。

2、時間序列預測的具體方法

2.1 移動平均法

?設觀測時間序列為y1,y2,…,yT。

一次移動平均值計算公式：

二次移動平均值計算公式：

這里N<T,一般5≤N≤200.

（1）當預測目標的基本趨勢在某一水平上下波動時，采用一次移動平均方法計算預測，即

（2）當預測目標的基本趨勢與某一直線相吻合時，采用二次移動平均法.

以上預測標準誤差為?

?一般來說，N取多少為好，S越小越好。如果數據自帶周期，N最好取周期值。

案例1

某企業(yè)1-11月的銷售收入時間序列如表1所列，試用一次移動平均法預測12月的銷售收入。

表1 1-11月銷售收入記錄

月份t	1	2	3	4	5	6
銷售收入yt	533.8	574.6	606.9	649.8	705.1	772.0
月份t	7	8	9	10	11
銷售收入yt	816.4	892.7	963.9	1015.1	1102.7

【符號說明】

• t ?時間變量t=1,2,…,11
• yt 銷售量記錄值
• n ?移動平均項數
• Mt 一次移動平均值,t=n,n+1,…,11
• y(1) 預測值，t=5,6,…,12

?【預測模型】

一次移動平均預測模型為：

?針對n=3，4，5，都做一次移動平均預測，將計算結果和誤差都反映在表2.

先編寫一個時間序列為yt,移動平均項n的預測與誤差的程序yd1.m，再調用此函數計算不同n值的預測與誤差，存放在表2進行對比

表2 n分別取3,4,5的預測對比

t	5	6	7	8	9	10	11	標準誤差
yt	705.10?	772.00?	816.40?	892.70?	963.90?	1015.10?	1102.70?	0.00?
n=3	653.93?	708.97?	764.50?	827.03?	891.00?	957.23?	1027.23?	60.73?
n=4	634.10?	683.45?	735.83?	796.55?	861.25?	922.03?	993.60?	92.37?
n=5	614.04?	661.68?	710.04?	767.20?	830.02?	892.02?	958.16?	124.63?

function [M1,s]=yd1(yt,n)
t=length(yt);
yt1=[];
for k=n:tyr=yt(k-n+1:k);yr1=mean(yr);yt1=[yt1,yr1];
end
M1=[zeros(1,n-1),yt1];
yt21=yt(n+1:t);
yt22=M1(n+1:t);
yts=yt22-yt21;
s=(sum(yts.^2)/(t-n))^0.5;

yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];
n=5;
[m1,s1]=yd1(yt,3);
[m2,s2]=yd1(yt,4);
[m3,s3]=yd1(yt,5);
S=[0,s1,s2,s3];
Y=[yt;m1;m2;m3];
B=[Y,S'];
xlswrite('d:\yidong1.xlsx',B);

由表2可見，n=3比n=4預測效果好，n=4比n=5預測效果好。用n=3的計算作預測，12月份銷售量為1027.23.

2.2 一次指數平滑預測法

（1）預測模型

設時間序列為y1,y2,…,yt,…，α為加權系數，0<α<1，一次指數平滑公式為

預測模型為

?（2）加權系數的選擇

（1）如果時間序列波動不大，比較平穩(wěn)，則α取小一點，0.1-0.5，減小修正幅度，使預測模型包含較長的序列信息；

（2）如果序列具有迅速增加的變動趨勢，α取大一點，0.6-0.8，使得預測模型靈敏度高一些，以便迅速跟上數據的變化。

?（3）初始值的確定

一般選取最初幾期實際值的平均值作為初始值。

案例2

就案例1中問題，用指數平滑預測法預測12月銷售量。

?就α=0.2,0.5,0.8分別作一次指數平滑預測，初始值為

即

按照預測模型計算不同α預測結果與誤差，計入表3，進行對比做出決策。

function [s1,s]=expph1(yt,a)
n=length(yt);
s1(1)=mean(yt(1:2));
for k=2:ns1(k)=a*yt(k)+(1-a)*s1(k-1);
end
y11=s1-yt;
s=std(y11);

yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];
[m1,s1]=expph1(yt,0.2);
[m2,s2]=expph1(yt,0.5);
[m3,s3]=expph1(yt,0.8);
s=[0,s1,s2,s3];
m=[yt;m1;m2;m3];
B=[m,s'];
xlswrite('d:\yd1.xlsx',B);

表3 不同權系數的指數平滑預測及其標準誤差

月份	1	2	3	4	5	6
yt	533.80	574.60	606.90	649.80	705.10	772.00
a=0.2	554.20	558.28	568.00	584.36	608.51	641.21
a=0.5	554.20	564.40	585.65	617.73	661.41	716.71
a=0.8	554.20	570.52	599.62	639.76	692.03	756.01
月份	7	8	9	10	11	誤差
yt	816.40	892.70	963.90	1015.10	1102.70	0.00
a=0.2	676.25	719.54	768.41	817.75	874.74	81.82
a=0.5	766.55	829.63	896.76	955.93	1029.32	28.33
a=0.8	804.32	875.02	946.12	1001.30	1082.42	11.20

由表3可以看出，α=0.8誤差最小，選擇系數α=0.8進行預測，12月份的銷售量為?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2 ?預測值與實際值對比

從表2、表3和圖2可以看出，預測值總是滯后于實際值。原因就是數據不滿足模型要求（平穩(wěn)型）。

?3、差分指數平滑法

差分是改變數據趨勢的根本方法（就像導數改變冪函數階數一樣）。如果數據呈現直線吻合型，差分后就呈現平穩(wěn)性。

一階差分指數平滑預測模型公式如下

?【1】

公式【1】的第三個表示是就相當于：預測值=原值+差分(微分)的預測值.

案例3

對案例1問題用差分指數平滑法預測第12月的銷售量。（取α=0.5）.

?（1）先計算原始數據xt的差分，得到yt；

（2）對數據yt，取α=0.5做一次指數平滑預測，得到St；

（3）作預測

先編制一個給定時間序列和α的計算差分指數平滑預測的m函數，再調用m這個函數將計算結果匯總到表4.將預測結果與實測值對比如圖3.差分指數平滑預測當α=0.5時，誤差較小。

function [yc,err]=diffexpph(yt,a)
y=diff(yt);
[ym,s]=expph1(y,a);
y=[0,y];
ym=[0,ym];
n=length(y);
r=a*y(n)+(1-a)*ym(n);
ym=[ym,r];
for k=1:nyc(k+1)=ym(k+1)+yt(k);
end
xy=yc(2:end-1)-yt(2:end);
err=(sum(xy.^2)/10)^0.5;

yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7]; a=0.5;
[yc,err]=diffexpph(yt,a);plot(2:11,yt(2:end),'*',2:11,yc(2:end-1),'+'),
legend('實測值','預測值')
>> A1=[yt,0];
>> A=[A1;yc];
>> xlswrite('d:\diffexpph.xlsx',A)

????????????????圖3 差分指數平滑預測于實測對比

月份	1	2	3	4	5	6
實測yt	533.8	574.6	606.9	649.8	705.1	772
預測yc		570.35	609.025	645.5625	696.7813	762.0406
月份	7	8	9	10	11	12
實測yt	816.4	892.7	963.9	1015.1	1102.7
預測yc	822.6703	879.8852	960.0426	1023.171	1088.536	1183.218

?????????????????????????????????表4 案例3差分指數平滑預測有關數據

由表4可以得到預測值，第12月銷售量為1183.218.將不同α取值(0.1,0.3,0.6,0.9)計算結果匯總到表5，對比顯示，差分指數平滑對線性吻合型數據，α取值越大，預測越準確。

yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];
[yc1,s1]=diffexpph(yt,0.1);
[yc2,s2]=diffexpph(yt,0.3);
[yc3,s3]=diffexpph(yt,0.6);
[yc4,s4]=diffexpph(yt,0.9);
A1=[0,yt(2:end),0];
A2=[0,s1,s2,s3,s4];
A=[A1;yc1;yc2;yc3;yc4]';
B=[A;A2];
xlswrite('d:\diffexpph1.xlsx',B)

月份\α		0.1	0.3	0.6	0.9
1	0	0	0	0	0
2	574.6	570.35	570.35	570.35	570.35
3	606.9	610.725	609.875	608.6	607.325
4	649.8	643.7025	644.4625	646.24	648.7825
5	705.1	688.4523	692.6838	698.716	703.7583
6	772	746.577	755.1886	764.8064	770.7058
7	816.4	813.7693	820.382	822.5226	818.5206
8	892.7	861.6224	873.1574	882.389	889.7221
9	963.9	940.5202	953.7902	961.8156	964.1122
10	1015.1	1012.058	1022.023	1022.266	1017.121
11	1102.7	1067.202	1082.066	1091.006	1099.262
12	0	1158.352	1175.856	1185.623	1189.956
誤差	0	19.44747	12.10722	6.799773	2.281841

?????????????????????????????????????????表5 指數平滑不同α預測對比

4、具有季節(jié)性特點的時間序列的預測

?具有季節(jié)特性的時間序列預測方法很多，這里介紹季節(jié)系數法，步驟如下：

（1）收集m年的每年各個季度或者各個月份（n個季度）的時間序列aij,i表示年份,i=1,2,…,m;j表示季度,j=1,2,…,n；

（2）計算所有數據的平均值

（3）計算同季度的算數平均數

（4）計算季度系數

（5）預測計算

?當時間序列是按季度給出，先求初預測年份（下一年）的年加權平均

再計算預測年份季度平均

最后預測當年第j季度的預測值

?案例4

某商店某類商品1999-2000年各季度銷售額如表6所示，預測2004年各季度銷售額。

?????????????????????????表6 1999-2003各季度銷售額 ? （單位：元）

年份\季度	1	2	3	4
1999	137920	186742	274561	175422
2000	142814	198423	265419	183512
2001	131002	193987	247556	169847
2002	157436	200144	283002	194319
2003	149827	214301	276333	185204
2004	145573	201170	272696	183901

?模型求解：按照上面的規(guī)范步驟，2004年個季度銷售額預測填入表6最后一行

B=xlsread('d:\jidu.xlsx');
A=B(:,2:end);
[m,n]=size(A);
a=sum(sum(A))/m/n;
aj=mean(A);
bj=aj/a;
yi=sum(A');
w=1:m;
yc=sum(yi.*w)/sum(w)/n;
ycj=yc*bj