裴禮文《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》練習(xí)2.4.11參考解答

練習(xí)2.4.11：設(shè)在任何有界閉區(qū)間上可積，且滿足函數(shù)方程

證明：, 為常數(shù)。

證明：

• 結(jié)論1：設(shè)在區(qū)間上可積，證明至少有一個(gè)連續(xù)點(diǎn)。

事實(shí)上，任意給, 根據(jù)可積定理，存在區(qū)間的分割

且成立

斷言：存在一個(gè)小區(qū)間使得在上的振幅滿足

否則，就有

矛盾。

取, 根據(jù)上面討論，存在的子區(qū)間上滿足其上的振幅

現(xiàn)在選擇

滿足

由于在可積， 取, 同理存在的子區(qū)間上滿足其上的振幅

繼續(xù)上面過程，得到閉區(qū)間列

滿足

且在上振幅滿足

根據(jù)比區(qū)間套定理，存在唯一的點(diǎn), . 現(xiàn)在證明在連續(xù)。

任意, 取滿足

由于

所以存在滿足

因?yàn)楹瘮?shù)在振幅滿足

所以當(dāng)時(shí)，必有

根據(jù)連續(xù)定義在連續(xù)。

• 結(jié)論2：設(shè)在上可積，則的連續(xù)點(diǎn)在上稠密。

任意區(qū)間, 由于在上可積，所以在上可積. 根據(jù)結(jié)論1，在上有連續(xù)點(diǎn)。根據(jù)稠密概念，則的連續(xù)點(diǎn)在上稠密。

• 題目證明：取根據(jù)函數(shù)方程得到

所以

因此

得到

由于在區(qū)間上可積，所以至少有一個(gè)連續(xù)點(diǎn). 由于

所以

這就說明在連續(xù)。根據(jù)(裴禮文練習(xí)2.4.4)知道在上連續(xù)。根據(jù)(裴禮文例題2.4.1)得到

為常數(shù)。

【解題完畢】