一、圖形學(xué)中的材質(zhì)

不同的物體表面有著不同的材質(zhì)，而不同的材質(zhì)意味著它們與光線的作用不同。那么我們之前在介紹輻射度量學(xué)和渲染方程提到過其中一個函數(shù)，叫做BRDF，而在實際上，也就是BRDF定義了不同的材質(zhì)。BRDF決定了光如何被反射。

1.漫反射材質(zhì)

之前我們在布林馮著色模型中根據(jù)經(jīng)驗定義的漫反射系數(shù)，在我們學(xué)習(xí)了輻射度量學(xué)和BRDF之后可以將它精確的定義出來。我們以上圖為例，定義一個漫反射材質(zhì)，它不吸收光，也就是說來了多少光就要反射出去多少，我們?nèi)藶樽鲆粋€場景，假設(shè)四面八方來的Radiance是均勻的，而因為它是漫反射材質(zhì)，反射出去的Radiance也應(yīng)該是均勻的，同時因為能量守恒進(jìn)出的能量是一樣的，那么入射的Radiance和反射出去的Radiance也應(yīng)該相等。由此我們可以把渲染方程化簡得到此時的BRDF=1/π，而這就是完全不吸收能量的BRDF。我們再定義一個反射率(albedo),這個反射率ρ可以是一個數(shù)或R,G,B三個通道或者是光譜，但是ρ∈[0,1]，這樣我們就可以定義不同顏色的BRDF，這樣我們就知道一個漫反射的BRDF應(yīng)該是在0到1/π之間。

2.Glossy材質(zhì)

Glossy材質(zhì)我們之前提到過，它并不是完美的鏡面反射，例如打磨的金屬。它們的反射接近鏡面但又不是絕對的鏡面，如上圖右上角的反射示意圖。

3.理想反射/折射材質(zhì)

這種材質(zhì)不僅在表面會發(fā)生反射還會發(fā)射折射，如玻璃，水面等。右邊這幅圖有顏色，說明光折射進(jìn)入球殼之后被部分吸收了。

二、反射和折射

1.反射

關(guān)于反射，我們知道反射角等于入射角，這也是反射定律。而關(guān)于反射定律我們有兩種理解方式。

第一中如上圖左，給定入射方向和反射方向還有法線方向我們可以知道它們的關(guān)系，入射方向向量+反射方向向量根據(jù)平行四邊形法則應(yīng)該是法線方向，且長度為平行四邊形的對角線，這里也就是菱形，那也就是對反射方向/入射方向向量做一個法線上的投影再乘以2就是最終的結(jié)果，最終把除了反射方向的項都移到右邊，就得到了公式ωo = -ωi + 2(ωi·n)n，這樣給定任意入射方向ωi和法線方向n我們就可以求出它的反射方向。

另一種理解方式如上圖右，我們在左圖垂直上方觀測會得到右面這張圖，我們之前講到立體角，講到過球坐標(biāo)，那么這里的Φo，Φi就相當(dāng)于球坐標(biāo)中的水平方位角決定水平反向，而入射角和反射角則決定了豎直方向的角度。在水平方位角上，我們可以很容易的發(fā)現(xiàn)Φo=(Φi+π)mod2，也就是反射方向的水平方位角始終等于入射方向的水平方位角+π再對2π取模即可。(關(guān)于取余和取模運算不了解的朋友可以自行搜索了解，這里不做贅述)

2.折射

折射定律：不同的材質(zhì)有不同的折射率，如上圖的ηi和ηt，入射角和反射角的正弦，上圖的sinθi和sinθt，那么則有ηi·sinθi=ηt·sinθt。與此同時我們?nèi)匀幌窨梢苑瓷湟粯拥玫椒轿唤铅罩g的關(guān)系。

而根據(jù)折射定律，我們很容易得到折射角的余弦，它一定是一個實數(shù)，也就是上面根號內(nèi)的值一定要≥0，而不能<0，如果<0，那么說明ηi/ηt>1，也就是光從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，并且入射角大于等于臨界角時全反射現(xiàn)象才會發(fā)生。

而全反射會導(dǎo)致一種現(xiàn)象，如上圖，人在水底向上看的視野只有一小片區(qū)域。這提示了我們之前在接受Path Tracing的時候沒有提到，而實際上在做Path Tracing的時候是要把這么個問題考慮進(jìn)去的。我么們之前說過BRDF可以來描述反射，那么折射用什么來描述呢？這里叫做BTDF，而BRDF和BTDF可以統(tǒng)稱為BSDF。

3.菲涅爾項

如上圖，一本書靠著墻在桌子上放著，我們分別俯視，半俯視，平視地看這本書，發(fā)現(xiàn)在桌子上反射出的書的“倒影”逐漸變明顯，也就是說反射的明顯程度是和我們視線和反射平面的角度相關(guān)的，這就是菲涅爾現(xiàn)象。

這也說明了，有多少能量被反射其實是與入射光的方向和和法線方向的夾角有關(guān)系的。且通過菲涅爾項，我們可以知道到底有多少能量被反射，又有多少能量被折射。

如上圖(某種折射率=1.5的絕緣體的菲涅爾項)中的紅色線表示，當(dāng)法線方向和光的方向為90°的時候，也就是垂直的時候，所有的能量都會反射出去，而法線方向和光在一條線上的時候，反射為0，光會直接從表面穿過發(fā)生折射。(P和S兩條線表示光的極化性質(zhì)，與光的波動性有關(guān)，但在這里我們不考慮，截止目前還沒有渲染器把光的極化性質(zhì)考慮在內(nèi))

如上圖，顯示為某種導(dǎo)體的菲涅爾項，顯然我們發(fā)現(xiàn)導(dǎo)體和非導(dǎo)體的菲涅爾項存在著很大的不同，如非常光滑的金屬，即使我們垂直這表面去看，仍然能看到比較強的反射。包括在上圖中我們還看到當(dāng)光線與法線接近90°的時候反射的能量還有一個先降后增的效果。?

上圖是菲涅爾項的計算公式，其中Rs和Rp是我們上面提到的極化，它們由折射率和夾角確定，最終我們想得到無極化的曲線把它們兩個平均起來即可，但是這個公式過于復(fù)雜，人們通常用一種簡化的近似形式如下圖。

Schlick's?approximation—Schlick近似法

Schlick近似法，思想是我們認(rèn)為每個菲涅爾項都有一個初始值為R0，然后逐漸增長，到90°的時候為1?；鶞?zhǔn)反射率為R0，也就是垂直時候的反射率，對于非導(dǎo)體我們可以將R0設(shè)置的低一些比如0.1以下，而對于導(dǎo)體我們可以把R0設(shè)置的高一些比如0.9，最終我們擬合出一條近似的曲線來近似它的菲涅爾項。

三、微表面模型

什么是微表面模型呢？看上圖中從太空中拍攝的地球照片，我們可以看到一大片的高光，但是實際上地球的表面并不是完全光滑的，有各種各樣的地形起伏，高樓等等，那我們?yōu)槭裁茨芸吹礁吖饽?#xff1f;因為我們離的足夠遠(yuǎn)，而足夠遠(yuǎn)意味著我們看不到所謂地形，高低起伏等細(xì)節(jié)，只能看到一個總體的光線反射分布。而微表面模型正是根據(jù)這一特點提出來的。

微表面模型認(rèn)為，表面是有起伏凹凸不平的，但是如果我們從遠(yuǎn)處(宏觀)l來看，我們可以把它當(dāng)作是平面，并且它是粗糙的。從近處看(微觀),它是凹凸起伏的，但是表面的每個微元都是光滑的，也就是發(fā)生完美的鏡面反射。這也說明了，我們從遠(yuǎn)處看看到的是外觀，而近處看看到的是幾何。

而通過微表面模型，我們可以用法線的分布來描述物體的粗糙程度，如上圖的glossy材質(zhì)，在微觀上表面的法線朝向接近垂直向上，也就是完美的平面那它的反射就相對集中一些會形成一定范圍的高光，而diffuse材質(zhì)，表面法線分布非常分散，所以反射出的光也很分散，那么高光效果就會弱。

而由此我們可以定義出微表面的BRDF，其中F為菲涅爾項；D為法線分布，h是我們之前布林馮著色模型中提到過的半角向量，我們知道只有當(dāng)半角向量h和法線n一致的時候，才能把光從入射方向反射到出射方向上去，因為我們規(guī)定了微表面上發(fā)生的都是完美的鏡面反射，而D項就是在求有多少微表面的法線n和半角向量h方向一致進(jìn)行一個查詢。G又叫幾何項，它用來表示有多少能量因為自遮擋失效了，因為微表面是有起伏的，如果從上圖微表面左幾乎平行地面打過來一束光，那么右邊許多地方是接受不到光照的，也就是說微表面會產(chǎn)生自遮擋現(xiàn)象。而G項就是用來表示這個問題的。光線幾乎平行于表面的入射角度我們稱之為Grazing angle，也就是無論是入射方向還是觀察方向，只要接近Grazing angle，那么G項就會起作用。

各向同性/各向異性材質(zhì)

對于微表面模型，我們可以分為兩種，各項同性和各項異性。各向同性表示它的法線雖然分布朝四面八方，但是各個方向的發(fā)現(xiàn)分布相對均勻，如上圖中的第一幅圖。而各向異性，如打磨過的金屬，它的微表面的法線分布有明顯的方向性，如上圖第二幅圖，水平和豎直方向的發(fā)現(xiàn)分布存在著明顯的差異。

而反映在BRDF上也可以看到，各項異性的BRDF和各向同性的BRDF也不同。我們之前說過的BRDF是各個方向分布均勻的，而各向異性則不同，各項異性的入射角和出射腳不僅和相對方位角有關(guān)，還和絕對方位角有關(guān)。

四、BRDF性質(zhì)的小結(jié)

非負(fù)性：BRDF描述的是能量分布，所以一定≥0

線性：我們之前是把漫反射，高光的BRDF項分別加在一起求出最終的結(jié)果。?

可逆性：在同一點顛倒出射方向和入射方向得到的BRDF是一樣的。

能量守恒：BRDF的存在不會讓能量變多，如果全都反射那么最終結(jié)果就=1，部分被吸收則＜1。

各項同性和各項異性：如果是各向同性的BRDF，那么就只于相對方位角有關(guān)，那么本來是四維的BRDF我們可以把最后兩項合并變?yōu)榉轿唤侵?#xff0c;又因為BRDF具有可逆性，所以方位角之差可以不考慮正負(fù)，變?yōu)榻^對值即可，得到最終的各向同性BRDF：fr=(θi,θr,|Φr-Φi|)。

五、BRDF的測量?

為什么要做BRDF的測量呢？我們之前所說的模型基本都是基于許多假設(shè)和簡化的，所以實際上并不準(zhǔn)確，甚至有時候相差非常大，其次，如果我們通過測量得出了BRDF的數(shù)值，那就不需要進(jìn)行計算，而是拿來直接使用就可以了。

BRDF怎么測量呢，我們知道它實際上就是兩個方向的函數(shù)，一個入射方向一個出射方向。假如我們現(xiàn)在就對一個著色點觀測，我們用一個光源從四面八方去照亮它，再用一個攝像機從四面八方去拍，這樣我們就覆蓋了所有可能的方向。

從上面的思路中我們得到了一個非常簡單粗暴的算法，也就是枚舉所有相機的拍攝方向和枚舉所有的光源照射的方向，而2x2我們得到了一個四維的數(shù)據(jù)，而要想全部枚舉完，四維是一個非常龐大的數(shù)據(jù)量，那怎么辦呢？我們之前提到過如果我們策測量一個各項同性的材質(zhì)，它的BRDF其實是一個三維的數(shù)據(jù)，而又因為BRDF的可逆性，我們可以把數(shù)據(jù)量再次減少一半。再者我們不一定要測出所有方向，我們可以只測量若干個方向，而其它方向的BRDF我們可以估計出來。

而不僅是BRDF的測量，BRDF的存儲，壓縮也有很多問題需要研究，這里就不介紹了，感興趣的朋友自行了解。

參考：

Lecture 17 Materials and Appearances_嗶哩嗶哩_bilibili

?GAMES101_Lecture_17 (ucsb.edu)

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