目錄

前言

方法一?

原理

代碼

測試

結(jié)果

方法二

原理

一、檢查連線與球體的相交情況

二、檢查距離與球體半徑的關(guān)系

三、檢查連線與球體的相交

代碼

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前言

???????通過數(shù)學(xué)原理判斷空間中任意兩點(diǎn)的連線是否穿過球體，再通過射線檢測檢驗(yàn)算法的正確性。

方法一?

原理

（1）設(shè)球體球心的坐標(biāo)為?，半徑為r；

（2）設(shè)線段中A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）計(jì)算、、

（4）計(jì)算點(diǎn)到?線段的最短距離

(5)?如果，則線段穿過球體；如果，則線段不穿過球體。

代碼

????????定義一個函數(shù)“IsCrossSphere”來判斷線段是否穿過球體，函數(shù)需要傳入點(diǎn)A、B的坐標(biāo)以及球心坐標(biāo)和球體半徑。

再定義一個結(jié)構(gòu)體作為函數(shù)返回值

函數(shù)“IsCrossSphere”的實(shí)現(xiàn)如下

頭文件：

// Fill out your copyright notice in the Description page of Project Settings.#pragma once#include "CoreMinimal.h"
#include "GameFramework/Actor.h"
#include "LineIsCrossSphere.generated.h"USTRUCT(BlueprintType)
struct FStruct_Result_IsLineCrossSphere
{GENERATED_BODY();
public:UPROPERTY(BlueprintReadWrite)float distanceOfLineAndSphereCenter;UPROPERTY(BlueprintReadWrite)bool isCrossSphere;
};UCLASS()
class STUDY_API ALineIsCrossSphere : public AActor
{GENERATED_BODY()public:	// Sets default values for this actor's propertiesALineIsCrossSphere();protected:// Called when the game starts or when spawnedvirtual void BeginPlay() override;UFUNCTION(BlueprintCallable)FStruct_Result_IsLineCrossSphere IsCrossSphere(FVector pointA, FVector pointB, FVector sphereOrginPoint, float sphereRadius);   //計(jì)算線段AB到球心的距離并判斷AB是否穿過球體public:	// Called every framevirtual void Tick(float DeltaTime) override;};

源文件：

// Fill out your copyright notice in the Description page of Project Settings.#include "Test/LineIsCrossSphere.h"// Sets default values
ALineIsCrossSphere::ALineIsCrossSphere()
{// Set this actor to call Tick() every frame.  You can turn this off to improve performance if you don't need it.PrimaryActorTick.bCanEverTick = true;}// Called when the game starts or when spawned
void ALineIsCrossSphere::BeginPlay()
{Super::BeginPlay();}FStruct_Result_IsLineCrossSphere ALineIsCrossSphere::IsCrossSphere(FVector pointA, FVector pointB, FVector sphereOrginPoint, float sphereRadius)
{bool isCrossSphere;FVector OA = pointA - sphereOrginPoint;FVector OB = pointB - sphereOrginPoint;FVector AB = OB - OA;FVector n = OA.Cross(AB);float D = n.Size() / AB.Size();if (D > sphereRadius){isCrossSphere =  false;}else{isCrossSphere =  true;}FStruct_Result_IsLineCrossSphere result;result.isCrossSphere = isCrossSphere;result.distanceOfLineAndSphereCenter = D;return result;
}// Called every frame
void ALineIsCrossSphere::Tick(float DeltaTime)
{Super::Tick(DeltaTime);}

測試

????????在Tick中每幀去發(fā)射射線檢測并調(diào)用函數(shù)?“IsCrossSphere”，通過觀察射線碰撞結(jié)果以及函數(shù)?“IsCrossSphere”的打印是否相等來判斷算法是否有誤。（這里設(shè)置球體半徑固定為50，球體坐標(biāo)為(0,0,0)）

結(jié)果

????????可以看到不論是線段在球體表面，穿過球體，還是在球體外，函數(shù)?“IsCrossSphere”與射線檢測的結(jié)果都是一致的。

方法二

原理

一、檢查連線與球體的相交情況

????????使用距離公式計(jì)算點(diǎn)?到球體中心?的距離，以及點(diǎn)?到地球中心?的距離，設(shè)點(diǎn)為，點(diǎn)為。

二、檢查距離與球體半徑的關(guān)系

????????如果??且?，則兩點(diǎn)都在球體內(nèi)部，它們的連線顯然穿過球體；

????????如果??且?，則兩點(diǎn)都在球體外部，需要進(jìn)一步檢查它們的連線是否與球體相交。

三、檢查連線與球體的相交

????????當(dāng)兩點(diǎn)都在球體外部時，我們可以計(jì)算直線?AB?的參數(shù)方程，并嘗試找到與球體表面（即半徑為?R?的球體）的交點(diǎn)。將直線的參數(shù)方程代入球體的方程，并解出一個關(guān)于參數(shù)的二次方程。如果這個二次方程有實(shí)數(shù)解，并且解對應(yīng)的參數(shù)值在?0?和?1?之間（對于參數(shù)化的線段?AB），則連線與球體相交。

?（1）表示直線參數(shù)方程

????????對于線段的參數(shù)方程可以表示為

?

?????????其中是參數(shù)，表示線段上的點(diǎn)

（2）表示球體方程

????????設(shè)球體球心的坐標(biāo)為?，半徑為，則球體方程可表示為

（3）將直線的參數(shù)方程代入球體的方程中，得到一個關(guān)于的二次方程

?

?展開并整理后，可得到一個標(biāo)準(zhǔn)的二次方程形式：

（4）使用求根公式可以得到二次方程的解

（5）如果二次方程沒有實(shí)數(shù)解（），則直線不與球體相交；

? ? ? ? ?如果二次方程有一個實(shí)數(shù)解，并且解在?0≤t≤1?的范圍內(nèi)，則線段?AB?與球體相交于一點(diǎn)；

????????如果二次方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，并且至少有一個解在?0≤t≤1?的范圍內(nèi)，則直線段?AB?與球體相交于兩點(diǎn)（即線段穿過球體）。

代碼

bool ALineIsCrossSphere::IsCrossSphere2(FVector pointA, FVector pointB, FVector sphereOrginPoint, float sphereRadius)
{float D_A = sqrt(pow(pointA.X - sphereOrginPoint.X, 2) + pow(pointA.Y - sphereOrginPoint.Y, 2) + pow(pointA.Z - sphereOrginPoint.Z, 2));  //計(jì)算點(diǎn)A到球體中心的距離float D_B = sqrt(pow(pointB.X - sphereOrginPoint.X, 2) + pow(pointB.Y - sphereOrginPoint.Y, 2) + pow(pointB.Z - sphereOrginPoint.Z, 2));  //計(jì)算點(diǎn)B到球體中心的距離if (D_A <= sphereRadius && D_B <= sphereRadius)  //兩點(diǎn)都在球體內(nèi)部，它們的連線顯然穿過球體{return true;}else if (D_A > sphereRadius && D_B > sphereRadius)  //兩點(diǎn)都在球體外部{//將直線的參數(shù)方程代入球體的方程，得到標(biāo)準(zhǔn)二次方程的a、b、cfloat a = pow(pointB.X - pointA.X, 2) + pow(pointB.Y - pointA.Y, 2) + pow(pointB.Z - pointA.Z, 2);float b = 2 * ((pointB.X - pointA.X) * (pointA.X - sphereOrginPoint.X) + (pointB.Y - pointA.Y) * (pointA.Y - sphereOrginPoint.Y) + (pointB.Z - pointA.Z) * (pointA.Z - sphereOrginPoint.Z));float c = pow(pointA.X - sphereOrginPoint.X, 2) + pow(pointA.Y - sphereOrginPoint.Y, 2) + pow(pointA.Z - sphereOrginPoint.Z, 2) - pow(sphereRadius, 2);float discriminant = b * b - 4 * a * c;if (discriminant > 0.0f)  //△>0{// 有兩個不同的實(shí)數(shù)解float t1 = (-1*b + sqrt(pow(b, 2) - 4 * a * c)) / (2 * a);float t2 = (-1*b - sqrt(pow(b, 2) - 4 * a * c)) / (2 * a);if ((0 <= t1 && t1 <= 1) || (0 <= t2 && t2 <= 1)){return true;  //至少有一個解在0~1，則線段 AB 與球體相交于兩點(diǎn)}else {return false;  //直線與球體在無限遠(yuǎn)處相交，即線段沒有穿過球體}}else if (discriminant == 0.0f)  //△=0{// 有兩個相等的實(shí)數(shù)解（或說是一個重根）float t = (-1 * b) / (2 * a);if (t >= 0 && t <= 1){return true;  //直線段 AB 與球體相交于一點(diǎn)}else{return false; //雖然直線在無限延伸的情況下會與球體相交，但交點(diǎn)并不在連接點(diǎn)A和點(diǎn)B的線段上，因此沒有相交}}else  //△<0{// 沒有實(shí)數(shù)解,直線不與球體相交return false;}}else  //一點(diǎn)在球體內(nèi)部，另一點(diǎn)在球體外部，則它們的連線一定穿過球體{return true;}
}