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news 2025/7/1 11:22:10

湛江網(wǎng)站建設(shè)外包,網(wǎng)絡(luò)推廣技巧,阿里云網(wǎng)站空間做商城流程,粉紅色網(wǎng)站asp第三章向量空間(Vector Spaces) fmmer mit den einfachsten Beispielen anfangen. (始終從最簡單的例子開始。) ------------------------------David Hilbert 3.1 (R^n)的子空間我們的向量空間的基礎(chǔ)模型(本章主題)是n 維實(shí)向量空間的子空間。我們將在本節(jié)討論它?！?article class="baidu_pl">

??????????????????????????? 第三章??? 向量空間(Vector Spaces)

fmmer mit den einfachsten Beispielen anfangen.

(始終從最簡單的例子開始。)

??????????????????????????????????????????????????????? ------------------------------David Hilbert

3.1? ? $\mathbb{R}^{n}$ ?(R^n)的子空間

???????? 我們的向量空間的基礎(chǔ)模型(本章主題)是n?維實(shí)向量空間? $\mathbb{R}^{n}$ ?的子空間。我們將在本節(jié)討論它。向量空間的定義將在3.3節(jié)中給出。盡管行向量占據(jù)更少的空間，但矩陣乘法的定義使得使用列向量更為便捷，因此，我們通常使用列向量。有時(shí)候，為了節(jié)省空間，我們使用矩陣的轉(zhuǎn)置(transpose)形式? $(a_{1},...,a_{n})^{t}$ ?來書寫列向量。如在第1章中所述，我們不區(qū)分列向量和具有相同坐標(biāo)的? $\mathbb{R}^{n}$ ?的點(diǎn)。通常用小寫字母來表示列向量，例如，v?或w ，且若? $v=(a_{1},...,a_{n})^{t}$ ?，我們稱? $(a_{1},...,a_{n})^{t}$ ?為??v??的坐標(biāo)向量(coordinate vector)。

我們考慮向量上的2種運(yùn)算：

???????????????向量加法(vector addition)： $\begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} +b_{1}\\ \vdots \\ a_{n}+b_{n} \end{bmatrix}$ ?，和

(3.1.1)?

????????????????標(biāo)量乘法(scalar multiplication)： $c\begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ca_{1} \\ \vdots \\ ca_{n} \end{bmatrix}$ ?。

這些運(yùn)算使得? $\mathbb{R}^{n}$ ?成為向量空間。

對于 ? $\mathbb{R}^{n}$ ?

(3.1.1)的一個(gè)子集，如果它滿足隨后所列出的這些屬性，則稱其為一個(gè)子空間(a subspace)。這些屬性為：

(3.1.2)

(a)? 若 w 和 w’ 在 W 中，則其和 w + w’ 在 W 中。

(b)? 若 w 在 W 中且 c在? 中，則 cw 在W 中。

(c)? 0 向量在 W 中。

還有另一種方式可表述子空間的條件：

(3.1.3) ?若 W?非空，且若?? $w_1,...,w_n$ ?是 W 的元素，而 $c_1 ,..., c_n$ ?是標(biāo)量，則其線性組合 $c_1 w_1 + ... + c_n w_n$ ??也在W?中。

齊次(homogeneous) 線性方程組(system)提供了子空間的例子。已知一個(gè)m × n 矩陣 A 及其位于 ? 中的系數(shù)，位于 ? $\mathbb{R}^{n}$ ?中且其坐標(biāo)向量可作為齊次線性方程組 AX = 0 的解的向量集構(gòu)成一個(gè)子空間，并稱其為A的零空間(nullspace)。盡這這個(gè)例子很簡單，我們還是驗(yàn)證一下它作為子空間所應(yīng)滿足的條件：

$\bullet$ ? ??AX = 0 且 AY = 0 意味著 A( X + Y ) = 0 ：若X和Y是方程的解，則 X + Y 也是方程的解。

$\bullet$ ? ??AX = 0意味著 AcX = 0:當(dāng)X是方程的解時(shí)，cX也是方程的解。

$\bullet$ ? ??AX = 0 ：零向量是方程的一個(gè)解。

零空間 W = 0 和?全空間? $W = \mathbb{R}^{n}$ ?都是子空間。如果一個(gè)子空間不是前面二者之一，則稱其為真子空間(proper subspace)。下一個(gè)命題描述了? $\mathbb{R}^{2}$ ?的真子空間。

命題 3.1.4? 令 W 為? $\mathbb{R}^{2}$ ?的真子空間，令 w?為 W 中的一個(gè)非零向量。則 W 由 w 的標(biāo)量乘組成。不同的真子空間僅有的共同向量是零向量。

??? 一個(gè)已知非零向量 w的標(biāo)量乘cw構(gòu)成的子空間被稱為w所張成的(spanned)(譯注:“span”譯為“生成”或“張成”，在下文中我們采用“張成”這個(gè)譯名)子空間。在幾何上，它是位于平面 R2 ?上穿過原點(diǎn)的一條直線。

證明：

????????我們首先注意到，被一個(gè)非零向量w所張成的子空間W，同時(shí)也被其所含的另一個(gè)非零向量w’ 所張成。這個(gè)事實(shí)是顯然的，因?yàn)槿?w’ = cw 且 c ≠ 0 ，則任意倍數(shù) aw?都可以寫為? $ac^{-1}w'$ ?的形式。因此(Consequently)，若被? $w_{1}$ ?和? $w_{2}$ ?所張成的子空間? $W_{1}$ ?和? $W_{2}$ ?具有一個(gè)公共的非零元素 v，則它們相等。

其次， $\mathbb{R}^{2}$ ?的一個(gè)非零子空間 W 含有一個(gè)非零元素? $w_{1}$ ?。因?yàn)?W 是一個(gè)子空間，它包含由? $w_{1}$ ?所張成的子空間? $W_{1}$ ??，若? $W_{1}=W$ ?，則 W 由一個(gè)非零向量的標(biāo)量乘構(gòu)成。我們證明，若 W 不等于? $W_{1}$ ?，則它是整個(gè)空間?? $\mathbb{R}^{2}$ ?。令? $w_{2}$ ?為一個(gè)W 的不在? $W_{1}$ ?中的元素，并令? $W_{2}$ ?為由? $w_{2}$ ?所張成的子空間。因?yàn)? $W_{1} \neq W_{2}$ ?，這些子空間僅有 0 交集。因此，這兩個(gè)元素? $w_{1}$ ?和? $w_{2}$ ?都不是對方的倍數(shù)。則? $w_{i}$ ?的坐標(biāo)向量( 稱其為? $A_{i}$ ?)不是成比率關(guān)系的，而由這些向量作為列向量的 2×2 塊矩陣? $A = [A_{1}][ A_{2}]$ ?具有一個(gè)非零矩陣。那樣話，我們可以解出一個(gè)任意向量v的坐標(biāo)向量B的方程 AX = B ，從而獲得線性組合? $v = w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2}$ ?。這就證明了 W 是整個(gè)空間? $\mathbb{R}^{2}$ ?。

在幾何上，根據(jù)向量加的平行四邊行法則(parallelogram law)，也可以觀察到每一個(gè)向量都是一個(gè)線性組合? $v = w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2}$ ?。

我們已經(jīng)給出的? $\mathbb{R}^{2}$ ?子空間的描述將在3.4節(jié)通過維度的概念加以闡明。

3.2? 域(FIELDS)

正如第一章的開頭所述，基本上，我們提到的所有關(guān)于矩陣的運(yùn)算，對于復(fù)數(shù)矩陣和實(shí)數(shù)矩陣同樣適用。對于很多其它的數(shù)值系統(tǒng)，同樣適配良好。為了便于描述這些數(shù)值系統(tǒng)，我們列出所需的“標(biāo)量”屬性，并導(dǎo)出域的概念。在轉(zhuǎn)向向量空間學(xué)習(xí)之前，我們在這里引入域的概念，這是本章學(xué)習(xí)的主旨。

復(fù)數(shù)域 ? 的子域是所描述的最簡單的域。一個(gè) ? 的子域(subfield)是一個(gè)子集，它在加，減，乘，和除四種運(yùn)算下閉合且包含元素1 。換句話說，如果 F 是?的一個(gè)子域，它一定滿足如下屬性(譯注：所謂“閉合(closed)”, 即在某種運(yùn)算下其結(jié)果仍然在這個(gè)集合中)：

(3.2.1)? (+, - ,×, ÷ )

$\bullet$ ? ? 若 a 和 b 在 F 中，則 a + b也在 F 中。

$\bullet$ ? ??若 a 在 F 中，則 - a 也在 F 中。

$\bullet$ ? ??若 a 和 b 在 F 中，則 a b也在 F 中。

$\bullet$ ? ??若 a 在 F 中且 a ≠ 0 ，則? $a^{-1}$ ?在 F 中。

$\bullet$ ? ? 1 在F 中。

這些公理意味著 1 – 1 也在 F 中。換一種表述，即，F 是加法群? $\mathbb{C}^{+}$ ?的一個(gè)子群，且F的非零元素構(gòu)成一個(gè)乘法群? $\mathbb{C}^{\times}$ ?的子群。

??? ? 的子域的一些例子：

(a)? 實(shí)數(shù)域 ?，

(b)? 比率數(shù)(整數(shù)構(gòu)成的分?jǐn)?shù),即分子分母均為整數(shù)的分?jǐn)?shù))域?，

(c)? ?形如? $a+b\sqrt{2}$ ?且 a 和 b 為比率數(shù)的所有復(fù)數(shù)的域? $\mathbb{Q}[\sqrt{2} ]$ ?。

抽象域(abstract field)的概念僅比子域的概念稍難理解，并且它包含重要的新域類，包括有限域。

定義 3.3.2? 一個(gè)域F是一個(gè)集合與兩個(gè)合成律

???????????????? $F \times F \displaystyle \xrightarrow{+} F$ ?( 稱為加：a ，b? ?? a + b)

和

???????????????? $F \times F \displaystyle \xrightarrow{\times} F$ ?( 稱為乘：a ，b? ?? ab)

的結(jié)合體。并且這兩個(gè)合成律滿足如下公理：

( i ) 這個(gè)加法合成律使用 F 成為一個(gè)Abel群? $F^{+}$ ?；它的玄元元素用0表示。

( ii ) 這個(gè)乘法合成律是可交換的，并使得F的非零元素集合成為一個(gè)Abel群? $F^{\times}$ ?；其玄元元素用1表示。

( iii ) 滿足分配律：對于F中的任意a ，b和 c ，都有 a( b + c ) =? ab + ac 。

??? 前兩個(gè)公理分別描述了加法和乘法這兩個(gè)合顧律的性質(zhì)。第三個(gè)公理，即分配律，將這兩個(gè)定律聯(lián)系起來。

??? 您會熟悉實(shí)數(shù)滿足這些公理的事實(shí)，但只有在經(jīng)過一些經(jīng)驗(yàn)后才能理解這個(gè)事實(shí)——實(shí)數(shù)是常規(guī)代數(shù)運(yùn)算唯一的需要。

??? 下面的引理解釋了0元素如何相乘。

引理 3.2.3? 令 F 為一個(gè)域。

(a)? F?的元素 0 和元素 1 是不同的。

(b)? 對于?F?中的任意a，有 a0 = 0 且 0a = 0 。

(c)? F?中的乘法是可結(jié)合的，且 1 是玄元元素。

證明：????????

??? (a) 上面的公理 ( ii ) 意味著 1 不等于 0 。

? ? (b) ?對于加法而言，0 是玄元，0 + 0 = 0 。則 a0 + a0 = a( 0 + 0 ) = a0 。因?yàn)?? $F^{+}$ ?是一個(gè)群，我們可以消去 a0 ，從而得到 a0 = 0 ，以及 0a = 0 。

????(c)? 因?yàn)?F – {0}是一個(gè)Abel群，當(dāng)嚴(yán)格限定在這個(gè)子集內(nèi)的時(shí)候，乘法是可結(jié)合的。當(dāng)元素中至少有一個(gè)為零時(shí)，我們需要證明 a(bc) = (ab)c。在這種情況下，(b) 證明了問題中的乘積等于0 。最后，元素1 是 F – {0} 上的玄元。在 (b) 中設(shè) a = 1 便證明了1是所有F?的玄元。

除了復(fù)數(shù)的子域之外，域的最簡單例子是某些稱為素域(prime field)的有限域，我們接下來將對其進(jìn)行描述。我們在前一章中看到，以整數(shù) n 為模的同余類集合 ?/n? 具有從整數(shù)的加法和乘法導(dǎo)出的加法律和乘法律。除了乘法要求逆元存在之外，域的公理對于所有整數(shù)成立。正如第 2.9 節(jié)所述，此類公理適用于同余類的加法和乘法。但在整數(shù)除法下并不閉合，因此沒有理由假設(shè)同余類具有乘法逆元。事實(shí)上他們不需要。例如，2類沒有模 6 的乘法逆元。令人有些驚訝的是，當(dāng) p 是素?cái)?shù)時(shí)，所有模 p 的非零同余類都有逆元，因此集合 ?/n? 是一個(gè)域。這個(gè)域稱為素域(prime field),并使用符號? $\mathbb{F}_{p}$ ?表示。

使用上劃線記法并選取 p 同余類的常規(guī)表示元素，記為

(3.2.4)?????????? $\mathbb{F}_{p} = \{\overline{0} , \overline{1} ,... ,\overline{p-1} \} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ?。

定理 3.2.5 ?令 p 為一個(gè)素?cái)?shù)。每一個(gè)模 p 非零同余類都有一個(gè)乘法逆元，因此， $\mathbb{F}_{p}$ ?是一個(gè) p 階域。

????在給出其證明之前，我們先討論定理。

??? 若 a 和b是整數(shù)，則 ? $\overline{a} \neq \overline{0}$ ?意味著 p 不整除a ，且? $\overline{ab}=\overline{1}$ ?意味著 ab ≡ 1 modulo p 。如果 p 很小，則可以通過試錯(cuò)法求得一個(gè)同余類? $\overline{a}$ ?模p 的逆元。若 p = 13 且? $\overline{a}=\overline{3}$ ?，則? $\overline{a}^{2}=\overline{3}$ ?，且? $\overline{a}^{3}=\overline{27}=\overline{1}$ ?。我們是幸運(yùn)的：? $\overline{a}$ ?的階為3，因?yàn)? $\overline{3}^{-1}=\overline{3}^{2}=\overline{9}$ ?。在另一方面，6的冪貫穿每一個(gè)非零模13同余類。計(jì)算冪可能不是求得? $\overline{6}$ ?逆元的最快方式。但是這個(gè)定理告訴我們構(gòu)成一個(gè)群的非零同余類的集合? $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ ?。因此，? $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ ?的每一個(gè)元素? $\overline{a}$ ?都具有限階，并且，若? $\overline{a}$ ?有階 r ,則其逆元將是? $\overline{a}^{(r-1)}$ ?。

為了使用這個(gè)推理來證明這個(gè)定理，我們還需要下面的消去律：

命題 3.2.7? 消去律(Cancelation Law)：令p為一個(gè)素?cái)?shù)，并令 ? $\overline{a}$ ?, $\overline$ ?和? $\overline{c}$ ?為? $\mathbb{F}_{p}$ ?的元素。

(a)? 若 $\overline{a}\overline=\overline{0}$ ?，則? $\overline{a}=\overline{0}$ ?或? $\overline=\overline{0}$ ?。

(b)? 若? $\overline{a} \neq \overline{0}$ ??且若? $\overline{a}\overline=\overline{a}\hspace{0.1cm}\overline{c}$ ?,則? $\overline=\overline{c}$ ?。

證明：

????????(a) 我們用整數(shù) a 和 b 來表示同余類? $\overline{a}$ ?和? $\overline$ ?，并轉(zhuǎn)化為同余。要證明的知論斷是，若p整除 ab ，則 p整除 a 或 p整除 b 。這是推論 2.3.7 ，因此，得證。

????????(b) 從(a)可以推導(dǎo)出，若?? $\overline{a} \neq \overline{0}$ ?且? $\overline{a}(\overline-\overline{c})=\overline{0}$ ??，則? $\overline-\overline{c}=\overline{0}$ ?。

定理 (3.2.5)的證明：

????????令? $\overline{a}$ ?為? $\mathbb{F}_{p}$ ?的一個(gè)非零元素。我們考慮冪? $\overline{1},\overline{a},\overline{a}^{2} ,\overline{1}^{3} ,...$ ?，?因?yàn)榇嬖跓o限多個(gè)指數(shù)且僅有有限多個(gè)元素在? $\mathbb{F}_{p}$ ?中，則，一定有兩個(gè)冪是相等的，比如說，? $\overline{a}^{m} = \overline{a}^{n}$ ??, 其中，m < n ，我們在等式兩側(cè)消去? $\overline{a}^{m}:\overline{1}=\overline{a}^{(n-m)}$ ?。則 ? $\overline{a}^{(n-m-1)}$ ?便是? $\overline{a}$ ?的逆元。

在接下來的內(nèi)容中，將字母上的上劃線刪去會更方便，相信我們自己能記住我們正在使用整數(shù)還是同余類，并記住規(guī)則(2.9.8)：

????????若 a 和 b是整數(shù)，則在? $\mathbb{F}_{p}$ ?中 a = b 指的是 a ≡ b modulo p 。

????????與通常的同余一樣，除了不能在整數(shù)中進(jìn)行除法之外，域? $\mathbb{F}_{p}$ ?中的計(jì)算可以通過使用整數(shù)來完成?？梢允褂闷?strong>列值(entries)位于域中的矩陣 A 進(jìn)行操作，并且可以重復(fù)第一章的討論而無需進(jìn)行本質(zhì)的更改。

????????假設(shè)我們要求素?cái)?shù)域? $\mathbb{F}_{p}$ ?中 n 個(gè)未知數(shù)的 n 階線性方程組的解。我們用整數(shù)系統(tǒng)表示方程組，選擇同余類的代表，例如 AX = B，其中 A 是 n × n 整數(shù)矩陣，B 是整數(shù)列向量。為了解這個(gè)? $\mathbb{F}_{p}$ ?內(nèi)的方程組，我們對矩陣 A 模 p 求逆，公式? $\mathsf{cof}(A)A = \delta I$ ?(其中， $\delta = \det A$ ??(定理1.6.9))對整數(shù)矩陣是有效的，因此，矩陣的列值被它們的同余類替換之后，在? $\mathbb{F}_{p}$ ?中仍然成立。若δ 的同余類不為零，同我們可以通過計(jì)算? $\delta^{-1}\mathsf{cof}(A)$ ?求得? $\mathbb{F}_{p}$ ?中A的逆矩陣。

推論 3.2.8? 令 AX = B 為一個(gè)有 n?個(gè)未知數(shù)的n?階線性方程組，其中，A?和B?的列值在 $\mathbb{F}_{p}$ ?中，并令?δ = det A 。如果 δ 不為零，則這個(gè)方程組在? $\mathbb{F}_{p}$ ?中具有唯一解。

例如，考慮方程組 AX = B ，其中

???????????????? $A= \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 2 & 6\\ \end{bmatrix}$ ? 和 ? $B= \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$ ?。

方程組的系數(shù)是整數(shù)，因此，AX = B 在? $\mathbb{F}_{p}$ ?中對任意素?cái)?shù) p 定義了一個(gè)方程組。A的行列式是 42 ，因此，方程組在? $\mathbb{F}_{p}$ ?中對于任意不能整除42的p (即，所有不同于2，3，和?7的p )具有唯一解。例如，當(dāng)計(jì)算模13的時(shí)候，det A = 3 。因?yàn)樵? $\mathbb{F}_{13}$ ?中? $3^{-1}=9$ ?，

$A^{-1}=9 \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 8 \end{bmatrix} \mathsf{modulo} \hspace{0.1cm} 13 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 8 & 7 \end{bmatrix}$ ??和? ? $X = A^{-1}B \hspace{0.1cm} \mathsf{modulo} \hspace{0.1cm}13 =\begin{bmatrix} 7\\4 \end{bmatrix}$ ?。

(譯注：以上疑似有誤，應(yīng)該是

$A^{-1}=9 \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 8 \end{bmatrix} \mathsf{modulo} \hspace{0.1cm} 13 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 7 \end{bmatrix}$ ?，

因此， $X = A^{-1}B \hspace{0.1cm} \mathsf{modulo} \hspace{0.1cm}13 =\begin{bmatrix} 7\\-9 \end{bmatrix}$ ?。

因?yàn)? $AA^{-1}$ ?應(yīng)該等于單位矩陣? $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ?，修改后恰好滿足這一條件。)

這個(gè)方程組在? $\mathbb{F}_{2}$ ?和? $\mathbb{F}_{3}$ ?中沒有解。碰巧在? $\mathbb{F}_{7}$ ?中有解，盡管 $\det A \equiv 0 \hspace{0.1cm} \mathsf{modulo} \hspace{0.1cm} 7$ 。

????????具有列值在素?cái)?shù)域? $\mathbb{F}_{p}$ ?中的可逆矩陣提供了有限群的新示例，即有限域上的一般線性群：

???????????????? $GL_{n}(\mathbb{F}_p) =$ ?{具有列值在素?cái)?shù)域? $\mathbb{F}_{p}$ ?中的可逆矩陣n × n},

???????????????? $SL_{n}(\mathbb{F}_p) =$ ?{具有列值在素?cái)?shù)域? $\mathbb{F}_{p}$ ?中且具有行列式1的可逆矩陣n × n}。

例如，列值位于? $\mathbb{F}_{2}$ ?中的可逆 2 × 2 群含有6個(gè)元素：

(3.2.9)?????? $GL_{2}(\mathbb{F}_2) = \{ \begin{bmatrix} 1&\\&1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&1\\1& \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} &1\\1&1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} &1\\1& \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&1\\&1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&\\1&1 \end{bmatrix} \}$ ?。

這個(gè)群與對稱群眾 $S_{3}$ ?是同構(gòu)的。以上矩陣元素的列出階序與?? $S_{3}$ ?的元素的常規(guī)列表? $\{1,x,x^{2} ,y,xy,x^{2}y \}$ ?一致。

????????素?cái)?shù)域? $\mathbb{F}_{p}$ ?的一個(gè)將其與 ?的子域區(qū)分開來的屬性是，循環(huán)將1加到其自身達(dá)一定的次數(shù)(事實(shí)上是p次)之后，就給出了 0 的結(jié)果。作為加法群? $F^{+}$ ?的一個(gè)元素，一個(gè)域F 的特征(characteristic)便是1 的階數(shù)(假設(shè)階數(shù)有限)。它是使得 1 的 m 個(gè)副本的總和 1 + ... + 1 的計(jì)算結(jié)果為零的最小的正整數(shù)。若1的階數(shù)是有無限的，即，1 + ... + 1 在? $F^{+}$ ?永不為0 ,則稱這個(gè)域具有特征0 (characteristic zero)，這在某種程度上似乎有悖常理。因此，??的子域有特征?0，而素域? $\mathbb{F}_{p}$ ?有特征 p。

引理 3.2.10? 任意域 F 的特征要么是0，要么是一個(gè)素?cái)?shù)。

證明：

????????為了避免引起混淆，我們分別令? $\overline{0}$ ?和? $\overline{1}$ ?來表示域F中的加法玄元和乘法玄元。且若是k一個(gè)正整數(shù)，我們令? $\overline{k}$ ?為? $\overline{1}$ ?復(fù)制 k 次后相加的和。假設(shè)特征 m 不為 0。則? $\overline{1}$ ?產(chǎn)生一個(gè)? $F^{+}$ ?的 m 階循環(huán)子群H，且 $\overline{m}=\overline{0}$ ?。則由 ? $\overline{1}$ ?產(chǎn)生的循環(huán)子群 H 的不同元素? $\overline{k}$ ?( k = 0,1,...,m - 1)(命題 2.4.2)。假設(shè) m 不是素?cái)?shù)，比如說，m = rs 且 1 < r ,s <?m 。則? $\overline{r}$ ?和? $\overline{s}$ ?在乘法群? $F^{\times} = F - \{0\}$ ?中，但是，乘積? $\overline{r}\hspace{0.1cm}\overline{s}$ ?(等于 $\overline{0}$ ?)?不在? $F^{\times}$ ?中。這與? $F^{\times}$ ?是群的事實(shí)相矛盾。

????????素域? $\mathbb{F}_{p}$ ?還具有另一個(gè)顯著的屬性：

定理 3.2.11? 乘法群的結(jié)構(gòu)：令 p 為素?cái)?shù)。則素域的乘法群 ? $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ ?是一個(gè) p – 1 階的乘法群。

我們將這個(gè)定理的證明推遲到第15章中進(jìn)行，在那里，我們將證明每一個(gè)有限域的乘法群都是循環(huán)群(定理15.7.3)。

$\bullet$ ? ??循環(huán)群? $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ ?的一個(gè)生成元(generator)被稱為模p原根(primitive root)。

存在兩個(gè)模p原根，即，3 和 5，以及四個(gè)模11原根。去掉上劃線，3 模 7 的原根的冪?? $3^{0}$ ?,? $3^{1}$ ?,? $3^{2}$ ?,...? 按下列的次序列出了? $\mathbb{F}_{7}$ ?的非零元素：

(3.2.12)? ? $\mathbb{F}_{7}^{\times}= \{1 ,3 ,2 , 6 , 4 , 5 \} = \{1 ,3 ,2,-1, -3,-2 \}$ ?。因此，有兩種方式可以用于列出? $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ ?的非零元素，即，按加法和按乘法。若α?是模?p原根，則?

(3.2.13)? ? $\mathbb{F}_{p}^{\times}=\{1,2,3, ...,p - 1 \} = \{1,\alpha ,\alpha^{2},..., \alpha^{p-2} \}$ ??。

3.3? 向量空間(VECTOR SPACES)

??? 有了域的一些概念和例子之后，我們繼續(xù)進(jìn)行向量空間的定義。

定義 3.3.1 ?一個(gè)域F上的一個(gè)向量公間V是一個(gè)集合與兩個(gè)隨后所述的合成律的結(jié)合體。這兩個(gè)合成律為：

(a) 加法：V × V ? V ，對于 V 中的 v 和 w，記為 v ，w ? v + w 。

(b) 按域的元素的標(biāo)量乘：F × V ? V ，對于 F 中的 c和 V 中的v ，記為 c ，v ? cv 。

這兩條合成律需滿足下面的公理：

$\bullet$ ? ??加法使得V?成為一個(gè)具有 0 作為玄元的交換群?? $V^{+}$ ?。

$\bullet$ ? ??對于V中的任意v ，有 1v = v 。

$\bullet$ ? ??結(jié)合律：對于 F 中的任意 a 和 b 以及 V中的任意v，有 (ab)v = a(bv)。

$\bullet$ ? ??分配律：對于 F 中的任意 a 和 b 以及 V中的任意v和 w，有 (a + b)v = av + bv 和 a(v + w) = av + aw 。

????????當(dāng)加法和標(biāo)量乘如慣常定義(3.1.1)時(shí)，列值位于域 F 的列向量空間? $F^{n}$ ?構(gòu)成域F上的一個(gè)向量空間。

???????? 實(shí)向量空間(?上的向量空間)的更多一些例子：

例子 3.3.2?

(a) ?令 V = ? 為復(fù)數(shù)集合。忽視關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法。僅關(guān)注其兩個(gè)復(fù)數(shù)的加法和一個(gè)復(fù)數(shù)α與一個(gè)實(shí)數(shù)?r?的標(biāo)量乘法 rα 這兩種運(yùn)算。這兩種運(yùn)算使得 V?成為一個(gè)實(shí)向量空間。

(b) ?實(shí)數(shù)多項(xiàng)式? $p(x) = a_{n} x^{n} + ...+ a_{0}$ ?的集合是一個(gè)實(shí)數(shù)向量空間，以多項(xiàng)式加法和實(shí)數(shù)與多項(xiàng)式的標(biāo)量乘法作為其合成律。

(c) ?實(shí)數(shù)軸上連貫實(shí)數(shù)值函數(shù)的集合是一個(gè)實(shí)數(shù)向量空間，它以函數(shù)加法 f + g 和實(shí)數(shù)與函數(shù)的乘法作為其合成律。

(d) ?微分方程?? $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-y$ ?的解的集合構(gòu)成一個(gè)向量空間。

我們的每個(gè)例子都具有比我們將其視為向量空間時(shí)所看到的更多的結(jié)構(gòu)，這是很典型的。任何特定的例子都肯定具有與其他示例區(qū)分開來的額外功能，但這不是缺點(diǎn)。相反，抽象方法的優(yōu)勢在于公理的結(jié)果可以應(yīng)用于許多不同的情況。

????????子空間和同構(gòu)這兩個(gè)重要的概念與子群和群的同構(gòu)類似。與? $\mathbb{R}^{n}$ ?子空間一樣，一個(gè)域 F上的一個(gè)向量空間V的一個(gè)子空間 W 在加法和標(biāo)量乘的合成律之下是一個(gè)非空的閉合子集。對于一個(gè)子空間W，如果它既不是整個(gè)空間V，又不是零子空間 {0}，則它是一個(gè)真子空間(proper subspace)。例如，微分方程(3.3.2)(d)的解的空間是實(shí)數(shù)軸上所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間的真子空間。

命題 3.3.3 令 $V = F^{2}$ ?為列值位于域F的列向量向量空間。一個(gè)非零向量w的標(biāo)量乘{cw}構(gòu)成的V的每一個(gè)真子空間。不同的真子空間共有的向量僅為零向量。

????????證明命題3.1.4的證明對這個(gè)命題的證明繼續(xù)有效,不再贅述。

例子 3.3.4 ?令 F 為素域? $\mathbb{F}_{p}$ ??？臻g $F^{2}$ ?包含 ? $p^{2}$ ?個(gè)向量，(? $p^{2}-1$ ?)?個(gè)向量非零。因?yàn)榇嬖?p – 1 個(gè)非零標(biāo)量，由一個(gè)非零向量 w 所張成的子空間 W = {cw} 將包含 p – 1 個(gè)非零向量。因此， $F^{2}$ ?包含? $(p^{2} - 1)/( p - 1) = ( p + 1)$ ?個(gè)真子集。

????????從一個(gè)向量空間V到另一個(gè)向量空間V’的一個(gè)同構(gòu)φ(兩個(gè)空間都基于同一個(gè)域F )是一個(gè)與兩個(gè)合成律兼容雙射映射 φ ：V ? V ’，即，對于V中的任意v 和 w 以及F中的任意c，這個(gè)雙射使得

(3.3.5)?????? φ(v + w) = φ(v) + ?φ(w) 和 φ(cv) = cφ(v)

成立。

例子 3.3.6?

(a)? 令 $F^{n \times n}$ ?表示列值位于域F 中的n × n 矩陣的集合。這個(gè)集合是域F上的一個(gè)向量空間，并且與長度為? $n^{2}$ ?的列向量空間同構(gòu)。

(b)? 如果我們將復(fù)數(shù)集合視為一個(gè)實(shí)向量空間(譯注：應(yīng)理解為將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部看成是實(shí)向量的兩個(gè)分量)，例如在 (3.3.2)(a)中，發(fā)送? $(a,b)^{t} \rightsquigarrow a+bi$ ?的映射? $\varphi :\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C}$ ?是一個(gè)同構(gòu)。

3.4? (向量空間的)基底和維數(shù)(BASES AND DIMENSION)

??? 我們討論在向量空間中進(jìn)行加法和標(biāo)量乘法運(yùn)算時(shí)使用的術(shù)語。涉及到的新概念有張成(span)、獨(dú)立性(independence)和基底(basis)(譯注：有的書上又使用“base”，可理解為以此為“基礎(chǔ)”，或以此為“根基”，在不致引起混淆的情況下，簡稱為“基”，或“底”,因?yàn)樵跀?shù)學(xué)上，使用“基”作為術(shù)語的數(shù)學(xué)分支不只一個(gè)，比如，指數(shù)的底數(shù)和進(jìn)制表示的底數(shù)也稱為“基”或“底”)。

??? 在這里，我們使用向量的有序集(ordered sets)。我們將無序集合放在大括號中，并用圓括號將有序集合括起來，以便清楚地區(qū)分。因此，有序集合(v, w) 與有序集合 (w, v) 不同，而無序集合 { v, w } 和 { w, v } 相等。有序集中允許重復(fù)。所以 (v, v, w) 是有序集合，它與 (v, w) 不同，與無序集合的約定相反，其中 { v, v, w } 和 { v, w } 表示同一個(gè)集合。

令 V 為一個(gè)域 F上的一個(gè)向量空間，并令 $S = ( v_{1},...,v_{n} )$ ?為 V 的元素的一個(gè)有序集。則 S 的一個(gè)線性組合(linear combination)是一個(gè)形如

(3.4.1)??????? $w = c_{1} v_{1} + ... + c_{n} v_{n}$ ?(其中， $c_{i}$ ?在 S 中 )

的向量。

允許標(biāo)量出現(xiàn)在向量的任一側(cè)會很方便。我們簡單地約定，如果v是向量而c 是標(biāo)量，則符號 vc 和 cv 代表同一個(gè)向量，即通過標(biāo)量乘法獲得的向量。因此， $c_{1} v_{1} + ... + c_{n} v_{n}=v_{1}c_{1} + ... + v_{n}c_{n}$ ?。

????????矩陣表示法提供了一種緊湊的方式來書寫線性組合，并且我們在選擇書寫有序向量集的方式時(shí)考慮到了這一點(diǎn)。由于它的列值(entries)是向量，因此我們將數(shù)組? $S = ( v_{1},...,v_{n} )$ ?稱為超向量(hypervector)。向量空間的兩個(gè)元素的乘法沒有定義，但我們確實(shí)有標(biāo)量乘法。這就允許我們將? $F^{n}$ ?中的超向量 S 與一個(gè)列向量 X的乘積解釋為矩陣乘法

(3.4.2)?

???????? $SX=(v_{1},...,v_{n}) \begin{bmatrix} x_{1}\\ \vdots \\x_{n}\end{bmatrix}=v_{1}x_{1}+...+v_{n}x_{n}$ ?。

通過計(jì)算右邊的標(biāo)量乘再向量加，我們獲得另一個(gè)向量—— 一個(gè)標(biāo)量系數(shù)在右的線性組合。

??? 我們?nèi)∵@個(gè)線性方程組的解的? $\mathbb{R}^{3}$ ?的子空間W

(3.4.3) ?? ? $2x_{1} - x_{2} - 2x_{3} = 0$ ?或 AX = 0 ，其中 A = (2,-1,-2)

作為例子。方便的兩個(gè)特解? $w_{1}$ ?和? $w_{2}$ ?及其一個(gè)線性組合? $w_{1}y_{1}+w_{2}y_{2}$ ?如下所示：

(3.4.4) ??

???????? $w_{1}=\begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix}$ ?， $w_{2}=\begin{bmatrix} 1\\2\\0 \end{bmatrix}$ ?， $w_{1}y_{1}+w_{2}y_{2}=\begin{bmatrix} y_{1}+y_{2}\\2y_{2}\\y_{1} \end{bmatrix}$ ?。

若我們寫成? $S = (w_{1}, w_{2})$ ??且? $w_{i}$ ?如 (3.4.4)的記法，并且? $Y = (y_1,y_2 )^{t}$ ?,則這個(gè)線性組合可以按矩陣形式記為 SY。

$\bullet$ ? ??由向量? $S = ( v_{1},...,v_{n} )$ ??的所有線性組合構(gòu)成的向量集合構(gòu)成V的一個(gè)子空間，稱其為由集合張成的子空間。

正如3.1節(jié)所述，這個(gè)張成的子空間是V的含有S的最小子空間，通常記為 Span S。一個(gè)單一的向量? $\{ v_{1} \}$ ?張成的子空間是? $v_{1}$ ?的標(biāo)量乘? $cv_{1}$ ?構(gòu)成的空間。

人們也可以針對一個(gè)向量無限集定義張成空間，我們將在3.7節(jié)討論這個(gè)問題?，F(xiàn)在我先假設(shè)集合是有限集。

引理 3.4.5? 令 S 為V?向量的一個(gè)有序集，并令W?為V?的一個(gè)子空間。若 S ? W ，則有 Span S ? W (譯注：如上所述，讀作“這個(gè)張成的子空間是V的含有S的最小子空間”)。

???????? 一個(gè)列值在F?中的 m?×n 矩陣的列向量空間(column space)是由矩陣的列所張成的空間? $F^{m}$ ?的子空間。對此有一個(gè)重要的解釋：

命題 3.4.6 令 A 為一個(gè)m×n 矩陣，并令 B?為一個(gè)列向量，且兩者列值都在域??F?中。則對于方程組 AX = B ，當(dāng)且僅當(dāng)?B?在?A?的列向量空間中時(shí)，其具有一個(gè)位于? $F^{m}$ ?的?X?的解。

證明：

????????令? $A_{1}$ ?,..., $A_{n}$ ?表示 A 的列。對于任意列向量? $X = (x_{1} ,...,x_{n})^t$ ?，矩陣的積 AX 是列向量? $A_{1} x_{1} + ... + A_{n} x_{n}$ ?。這是列值(列向量空間的元素)的一個(gè)線性組合，并且若 AX = B ，則 B 便是這個(gè)線性組合。

????????向量? $x_{1}$ ?，...， $x_{n}$ ??之間的一個(gè)線性關(guān)系(linear relation)是計(jì)算結(jié)果為0的任意線性組合——即，形如?

( 3.4.7 )????? ??? $v_{1} x_{1} + v_{2} x_{2} + ... + v_{n} x_{n} = 0$ ?

的在V中成立的任意方程，其中，系數(shù)? $x_{i}$ ?在域 F 中。線性組合很有用，因?yàn)?#xff0c;若? $x_{n}$ ?不等于0，則方程 ( 3.4.7 ) 可以對? $v_{n}$ ?求解。

定義 3.4.8 ?對于向量? $S = ( v_{1},...,v_{n} )$ ?的一個(gè)有序集，若除了平凡的(trivial)(譯注：即顯而易見的)線性組合( X = 0這種情況，即，在其中，所有系數(shù)? $x_{i}$ ?都是0)，不存在線性組合 SX = 0，則稱這個(gè)有序集是獨(dú)立的(independent)，或者線性獨(dú)立的(linearly independent)。不是線性獨(dú)立的集合則是線性相關(guān)的(dependent)。(譯注：線性獨(dú)立性即線性無關(guān)性，集合之間沒有共同部分，沒有相似部分；相反，相關(guān)性即有相似性，一個(gè)集合可以用另一個(gè)相關(guān)性的集合線性表示。)

????????一個(gè)獨(dú)立的集合S?不能有任何重復(fù)向量。若S?的兩個(gè)向量? $v_{i}$ ?和? $v_{j}$ ?是相等的，則? ? $v_{i}-v_{j}=0$ ?是形如( 3.4.7 )的一個(gè)線性關(guān)系，其它的系數(shù)均為0。此外，在一個(gè)獨(dú)立的集合中，向量? $v_{i}$ ?沒有等于0 的。因?yàn)?#xff0c;若? $v_{i}$ ?是0 ，則? $v_{i}=0$ ?是一個(gè)線性關(guān)系。

引理 3.4.9?

(a)? 對于一個(gè)向量構(gòu)成的集合? $(v_{1})$ ?,當(dāng)且僅當(dāng)? $v_{1} \neq 0$ ?時(shí)，其是獨(dú)立的。

(b)? 對于兩個(gè)向量構(gòu)成的集合? $(v_{1} ,v_{2})$ ?，若任一向量都不是對方的倍數(shù)，則這兩向量是相互獨(dú)立的。

(c)? 一個(gè)獨(dú)立集合的任意重排序仍是獨(dú)立的。

假設(shè) V?是空間? $F^{m}$ ?，并且我們已知集合 ? $S = ( v_{1},...,v_{n} )$ ?中的向量的坐標(biāo)向量。則方程 SX = 0 給了我們一個(gè)含有n?個(gè)未知數(shù) ? $x_{i}$ ?的m 個(gè)齊次(homogeneous)線性方程構(gòu)成的方程組，并且我們可以通過解這個(gè)方程組來確定其方程之間的獨(dú)立性。

例子 3.4.10? 令? $S = ( v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} )$ ?為? $\mathbb{R}^{3}$ ?中的向量集，且其坐標(biāo)向量分別是

(3.4.11)?

?? $A_{1}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ ? , $A_{2}=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{bmatrix}$ ?, $A_{3}=\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}$ ?, $A_{4}=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 3 \end{bmatrix}$ ?。

令 A 表示由這些列向量構(gòu)成的矩陣：

(3.4.12)?

???? ???????? $A=\begin{bmatrix} 1&1&2&1 \\ 0&2&1&1 \\ 1&0&2&3 \\ \end{bmatrix}$ ?。

則一個(gè)線性組合將具有形式為? $SX = v_{1} x_{1} + v_{2} x_{2} + v_{3} x_{3} + v_{4} x_{4}$ ?,并且其坐標(biāo)向量為? $AX = A_{1} x_{1} + A_{2} x_{2} + A_{3} x_{3} + A_{4} x_{4}$ ?。齊次方程 AX = 0 具有非平凡解(譯注：即非零解，非顯而易見的解，需要費(fèi)一定周折才能求得的解)，因?yàn)樗呛?個(gè)未知數(shù)的三個(gè)齊次方程組。因此，集合S是獨(dú)立的。在另一方面，由矩陣(3.4.12)前三列所構(gòu)成的 3×3 矩陣 A’的行列式等于1，因此方程 A’ X = 0 僅有平凡解。因此， $( v_{1},v_{2},v_{3})$ ?是一個(gè)獨(dú)立集合。

定義 3.4.13 ?一個(gè)向量空間V 的一個(gè)基(basis)是一個(gè)線性無關(guān)且也張成向量空間V 的向量的集合? $( v_{1},...,v_{n} )$ ?。

????????我們通常使用粗體符號(例如 B )來表示一個(gè)基。按以上定義的集合? $( v_{1},v_{2},v_{3})$ ?是? $\mathbb{R}^{3}$ ?的一個(gè)基，因?yàn)榉匠?A’ X = 0 對于所有的B都具有唯一解(見1.2.21)。按(3.4.4)定義的集合? $( w_{1} , w_{2} )$ ?是方程? $2x_{1} - x_{2} - 2x_{3} = 0$ ?的解空間的一個(gè)基，盡管我們還沒有驗(yàn)證它。

命題 3.4.14 ?對于集合 ? $B = \{v_{1} , ..., v_{n}\}$ ?以及向量空間V ，當(dāng)且僅當(dāng)V?中的每一個(gè)向量 w 都可以按唯一的方式寫成一個(gè)線性組合 ? $w = v_{1} x_{1} + ... + v_{n} x_{n} = \mathsf{B}X$ ?的時(shí)候，這個(gè)向量 B 是V的一個(gè)基。

證明：

????????稱零向量僅可以按一種方式寫成一個(gè)線性組，按照這種表述，可以重述獨(dú)立性的定義。如果每一個(gè)向量都可以唯一地寫成一個(gè)線性組合，則 B 是獨(dú)立的，并張成 V ，因此，它是一個(gè)基(basis)。反之，假如 B 是一個(gè)基。則 V 中的每一個(gè)向量 w，都可以寫成 B 的一個(gè)線性組合。假設(shè) w 按兩種方式寫為線性組合，比如 w = BX = BX’。令 Y = X – X’,則 BY = 0 ,這是向量? $v_{1}$ ?,..., $v_{n}$ ?之間一個(gè)線性組合，這些向量是獨(dú)立的。因此，X – X’= 0 , 這說明這兩個(gè)線性組合是相同的。

????????令? $V=F^{n}$ ?為列向量空間。如前一樣，用 $e_{i}$ ?表示第i個(gè)位置為1而其它位置為0的列向量(見(1.1.24))。集合? $E=\{e_{1},...,e_{n}\}$ ??是? $F^{n}$ ?的一個(gè)基，稱其為標(biāo)準(zhǔn)基(standard basis)。若? $F^{n}$ ?中一個(gè)向量的坐標(biāo)向量是? $X = (x_{1} ,...,x_{n})^{t}$ ?，則根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)基，? $v = EX = e_{1} x_{1} + ... + e_{n} x_{n}$ ?是v的唯一表達(dá)式。

我們現(xiàn)在討論與張成(span)、獨(dú)立性(independence)和基(basis)這三個(gè)概念相關(guān)的主要事實(shí)。最重要的事實(shí)是定理 3.4.18。

命題 3.4.15 ?令 ? $S = ( v_{1},...,v_{n} )$ ?為向量的一個(gè)有序集，令 w?為 V?中的任意向量，并令 S’ = (S ，w )?為通過將w?加到S 所獲得的集合。

(a) 當(dāng)且僅當(dāng) w 在 Span S 中時(shí)，Span S = Span S’ 。

(b) 假設(shè) S 是獨(dú)立的。則當(dāng)且僅當(dāng)w 不在 Span S 中時(shí)，S’ 是獨(dú)立的。

證明：

????????這個(gè)內(nèi)容非?；A(chǔ)，因此我們略去大部分的證明。我們僅證明若 S 是獨(dú)立的而 S’ 不是獨(dú)立的，則 w 在 Span S 中這種情況。若 S’ 是獨(dú)立的，則存在某種線性關(guān)系

???????? $v_{1} x_{1} + ... + v_{n} x_{n} + wy = 0$ ?,

其中，系數(shù)? $v_{1}$ ?，...， $v_{n}$ ?和 y 不全為0 。若系數(shù) y是0，則表達(dá)式縮減為 SX = 0 ,且因?yàn)榧僭O(shè) S 是獨(dú)立的，我們也可以推斷出 X = 0 ，這關(guān)系是平凡的，這與我們的假設(shè)是矛盾的。因此 y ≠ 0 ,則我們可以針對 w 求得? $v_{1}$ ?,..., $v_{n}$ ?的一個(gè)線性組合。

$\bullet$ ? ? 對于一個(gè)線性空間V，若其可由某些有限向量張成，則稱其是有限維的(finite-dimensional)。否則，稱V是無限維的(infinite-dimensional)。

在本節(jié)余下的部分，我們的向量都是有限維的。

命題 3.4.16 令V 為有限維向量空間。

(a)? 令S為張成V?的有限子集，并令 L為 V 的一個(gè)獨(dú)立子集。通過將S的元素加到?L?的方式，可以獲得V?的一個(gè)基。

(b)? 令S?為張成V?的有限子集。通過從S?中刪去元素的方式，可以獲得V?的一個(gè)基。

證明：

??? (a) ?若 S 包含于 Span L 中，則L張成V，因此，它是一個(gè)基(3.4.5)。否則，我們先擇S中的一個(gè)不在Span L 中的元素v 。根據(jù)命題 3.4.15 ，L’ = (L，v)是獨(dú)立的。我們用L替換 L’。因?yàn)?em>S是有限的，通常我們僅對有限維的情況可以這樣做。因此，最終我們獲得一個(gè)基。

??? (b)? 假如S是獨(dú)立的，則存在一個(gè)線性關(guān)系? $v_{1} x_{1} + ... + v_{n} x_{n} = 0$ ?, 其中，某些系數(shù)(比如說? $c_{n}$ ?) 不為0。我們可以針對? $v_{n}$ ?解這個(gè)方程,這就證明了? $v_{n}$ ?在由前面 (n - 1)個(gè)向量的集合? $S_{1}$ ?所張成的空間中。繼續(xù)按這種方式進(jìn)行下去，最后我們會獲得一族獨(dú)立且仍舊張成空間V 的一族基。

注意：按這個(gè)推理，當(dāng)V是零向量空間{0}的時(shí)候，會存在一個(gè)問題。以V中向量的任一個(gè)集合S開始，所有向量都等于0，我們的處理例程將一次扔掉一個(gè)向量，直到只有一個(gè)向量? $v_{1}$ ?留下。而又因?yàn)? $v_{1}$ ?是0，集合? $(v_{1})$ ?

是相關(guān)的。我們?nèi)绾芜M(jìn)行下去呢？零空間并不是特別有趣，但它可能潛伏(lurk)在角落里，隨時(shí)準(zhǔn)備絆倒我們(trip us up)。我們必須考慮到在某些計(jì)算(例如求解齊次線性方程組)過程中出現(xiàn)的向量空間為零空間的可能性，盡管我們沒有意識到這一點(diǎn)。為了避免將這種可能性作為特殊情況提及，我們采用以下定義：

(3.4.17)

$\bullet$ ? ??空集合是獨(dú)立的。

$\bullet$ ? ??空集合張成的空間是零空間{0} 。

根據(jù)這個(gè)定義，則空集是零向量空間的一個(gè)基。這些定義允許我們?nèi)拥糇詈笠粋€(gè)向量? $v_{1}$ ?，這樣，就挽救了以上這種證明方法。

????????現(xiàn)在，我們觸及到了關(guān)于獨(dú)立性的主要事實(shí)：

定理 3.4.18 ?令 S 和 L 為一個(gè)向量空間V的有限子集。假設(shè)S?張成V?且L?是獨(dú)立的。則S?至少包含與?L?一樣多的元素：| S |?≥ | L |。

??? 如前一樣，| S |表示階，即，集合 S 的元素個(gè)數(shù)。

證明：

????????假設(shè)? $S = ( v_{1},...,v_{m} )$ ? 和? $L = ( w_{1},...,w_{n} )$ ??。我們假設(shè) |S|<|L| ，即，m < n，我們證明 L是獨(dú)立的。為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，我們證明存在一個(gè)線性關(guān)系?? $w_{1} x_{1} + ... + w_{n} x_{n} = 0$ ?,其中，系數(shù)? $x_{i}$ ?不全為0。我們將這個(gè)不確定的關(guān)系記為 LX = 0。

????????因?yàn)?S 張成 V ，L的每一個(gè)元素? $w_{j}$ ?都是S的一個(gè)線性組合，比如說?? $w_{j} = v_{1} a_{1j }+ ... + v_{m} a_{mj} = SA_{j}$ ?，其中， $A_{j}$ ?是系數(shù)的列向量。我們將這些列向量組成一個(gè) m?×?n?矩陣

?(3.4.19)?? ?

???????????????? $\boldsymbol {A}= \begin{bmatrix} |&&|\\ A_{1}&\hdots&A_{n}\\ |&&| \end{bmatrix}$ ? 。

則

3.4.20)??? ? $SA = (SA_{1},..., SA_{n}) = (w_{1},..., w_{n}) = L$ ?。

我們在未確定的線性組合中用SA替換L：

???????? LX = (SA)X 。

標(biāo)量乘的結(jié)合律意味著 (SA)X? = S(AX )。這個(gè)證明與標(biāo)題矩陣乘法的結(jié)合律的證明一樣(我們略去)。若 AX = 0 ，則我們的線性組合 LX 也將為0?，F(xiàn)在，因?yàn)?A 是一個(gè) m×n ( m < n )矩陣，這個(gè)齊次方程組具有非平凡解 X 。則 LX = 0 正是我們所求的線性關(guān)系。

命題 3.4.21 ?令V為一個(gè)有限維向量空間。

(a)? V?的任意兩個(gè)基(bases)(譯注：basis的復(fù)數(shù)bases)具有相同的階(相同的元素?cái)?shù)目)。

(b)? 令 B為一個(gè)基。若一個(gè)有限向量集S?張成?V，則當(dāng)且僅當(dāng)S是一個(gè)基的時(shí)候， |S | ≥ |B| 。

(c)? 令 B為一個(gè)基。若一個(gè)向量集是獨(dú)立的，則 | L| ≤ |B| ，且當(dāng)且僅當(dāng) L是一個(gè)基的時(shí)候，| L | = |B| 。

證明：

????????(a) ?在這里，我們指出，兩個(gè)有限基? $\mathsf{B}_{1}$ ?和? $\mathsf{B}_{2}$ ?具有相同的階，在推論3.7.7中我們將證明一個(gè)有限維向量空間的任一個(gè)基都是有限維的。在定理3.4.18中取?? $S=\mathsf{B}_{1}$ ?和? $L=\mathsf{B}_{2}$ ?即可證明? $|{\mathsf{B}_{1}}| \geq |{\mathsf{B}_{2}}|$ ?，類似地，有? $|{\mathsf{B}_{2}}| \geq |{\mathsf{B}_{1}}|$ ?。

????????(b)和(c)部分可從(a)和命題3.4.16推斷。

定義 3.4.22 ?一個(gè)有限維向量空間的維數(shù)是其一個(gè)基中的向量的數(shù)目。維數(shù)將記為 div V 。

????????列向量空間? $F^{n}$ ?的維數(shù)是n，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)基? $E=\{ e_{1},...,e_{n}\}$ ?含有n?個(gè)元素。

命題 3.4.23? 若 W 是一個(gè)有限維向量空間 V 的一個(gè)子空間，則 W 是有限維的，且 div W ≤ ?div V 。此外，當(dāng)且僅當(dāng) W = V 時(shí)，有 div W = div V 。

證明：

? ? ? ?我們以W中任意獨(dú)立的向量集 L開始，有可能是空集。若L不張成 W ，我們選取在 W中但不在L的張成空間的一個(gè)向量w 。則 L’= (L , w)將是獨(dú)立的(3.4.15)。我們用 L’替換L 。

? ? ? ?現(xiàn)在，很明顯的是，若 L是W的一個(gè)獨(dú)立子集，則將其視為 V 的一個(gè)獨(dú)立子集時(shí)，它也是獨(dú)立的。因此，定理 3.4.18 告訴我們 | L|≤ dim V。因此，將元素加入到 L的這個(gè)過程必須會有結(jié)束的時(shí)候,且當(dāng)它結(jié)束的時(shí)候，我們將得到W的一個(gè)基。因?yàn)?em>L包含最多 dim V 個(gè)元素，因此，div W ≤ ?div V 。因?yàn)?| L| = div V ，則命題 3.4.21 (c)證明 L 是 V 的一個(gè)基，因此，W = V 。

????????

3.5? 用基進(jìn)行計(jì)算(COMPUTING WITH BASES)

??? 基數(shù)目的是提供一種計(jì)算方法，我們在本節(jié)中學(xué)習(xí)如何使用它們。我們考慮兩個(gè)主題：如何根據(jù)基表達(dá)向量，以及如何將同一向量空間的不同基關(guān)聯(lián)起來。

假設(shè)給到我們一個(gè)域F上的一個(gè)向量空間V?的一個(gè)基? $\mathbf{B} = (v_{1} ,...,v_{n} )$ ?。記住：這意味著在向量空間V?中的每一個(gè)向量都可以恰好按一種方式(3.4.14)被表述為一個(gè)線性組合?

(3.5.1)? ? ? ? $v = v_{1} x_{1} + ... + v_{n} x_{n}$ ??(? $x_{i}$ ? 在域 F 中 )。

標(biāo)量 ? $x_{i}$ ?是向量 v 關(guān)于基B的坐標(biāo)(coordinates)，而列向量

(3.5.2)?

???????? $\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{bmatrix}$ ?

是向量 v 關(guān)于基B的坐標(biāo)向量(coordinate vector)(譯注：即向量在基上的各個(gè)分量)。

例如，(cos(t),sin(t))是微分方程 y’’ = -y 的解空間的一個(gè)基。這個(gè)方程的每一個(gè)解都是這個(gè)基的一個(gè)線性組合。若給到我們另一個(gè)解f?(t),則 f?(t) 的坐標(biāo)向量 ? $(x_{1} ,x_{2})^{t}$ ?是使得? $f(t) = x_{1}\cos(t) + x_{2}\sin(t)$ ??成立的向量。顯然，為了求得 X ，我們需要知道 f 的某些東西。不需要太多：只要確定兩個(gè)系數(shù)足可。f 的大部分屬性隱含于其作為這個(gè)微分方程的解這個(gè)事實(shí)中的。

????????如果已知一個(gè)維數(shù)為 n?的向量空間的一個(gè)基B，我們總是可以定義一個(gè)從空間? $F^{n}$ ?到 V?的向量空間同構(gòu)(isomorphism of vector spaces)(見3.3.5)：

（3.5.3)? ? $\psi:F^{n} \rightarrow V$ ?，

這個(gè)同構(gòu)發(fā)送 X ? BX 。我們通用B表示這個(gè)同構(gòu),因?yàn)樗l(fā)送了一個(gè)向量X?到?BX。

命題 3.5.4 ?令? ? $S = ( v_{1} ,... ,v_{n} )$ ?為一個(gè)向量空間V?的一個(gè)子集，并令? $\psi:F^{n} \rightarrow V$ ?為由 ? $\psi( X ) = SX$ ?所定義的映射。則

(a)? 當(dāng)且僅當(dāng)S是獨(dú)立的時(shí)候，ψ是單射的(injective)，

(b)? 當(dāng)且僅當(dāng)S是張成V的時(shí)候，ψ是滿射的(surjective)，和

(c)? 當(dāng)且僅當(dāng)S是V的一個(gè)基的時(shí)候，ψ是雙射的(bijective)。

以上可以從獨(dú)立，張成，和基的定義推導(dǎo)出。

??? 已知一個(gè)基，可通過對映射ψ (3.5.3)求逆的方式獲得V中一個(gè)向量v的坐標(biāo)向量。除非明確地給出一個(gè)基，否則我們沒有求逆函數(shù)的公式，但是同構(gòu)的存在性是有趣的：

推論 3.5.5 一個(gè)域 F 上的每一個(gè)n維向量空間V 都與列向量空間 ? $F^{n}$ ?同構(gòu)。

另請注意，當(dāng) m ≠ n的時(shí)候， $F^{n}$ ?與? $F^{m}$ ?不同構(gòu)，因?yàn)? $F^{n}$ ?具有n個(gè)元素的基，而基的元素的數(shù)目僅取決于向量空間。因此，一個(gè)域 F上的有限維向量空間完全是被分類的。列向量空間 ? $F^{n}$ ?是同構(gòu)類的代表元素。

????????一旦選定了一個(gè)基，一個(gè)n?維列向量空間與? $F^{n}$ ?是同構(gòu)的這個(gè)事實(shí)允許我們將向量空間上的問題轉(zhuǎn)換到熟悉的列向量代數(shù)問題。 遺憾的是，同一向量空間V具有很多不同的基。當(dāng)持有一個(gè)自然基的時(shí)候，將向量空間V 與一個(gè)同構(gòu)空間? $F^{n}$ ?關(guān)聯(lián)起來是十分有用的。在這種情況下，我們必需選擇坐標(biāo)，即，必需變換基。

??????例如，一個(gè)齊次線性方程 AX = 0 的解空間幾乎從不會有自然基。方程 ? $2x_{1} - x_{2} - 2x_{3} = 0$ ?的解空間 W 維數(shù)是2，此前我們列出過一個(gè)基：? $\mathbf{B} = ( w_{1} , w_{2 })$ ??，其中， $w_{1}=(1,0,1)^{t}$ ?， $w_{2}=(1,2,0)^{t}$ ?(見 (3.4.4))。使用這個(gè)基，我們獲得了一個(gè)向量空間同構(gòu)? $\mathbb{R}^{2} \rightarrow W$ ?，我們可以使用B 來表示。因?yàn)榉匠讨械奈粗獢?shù)標(biāo)為? $x_{i}$ ?，在這里，我們必須為? $\mathbb{R}^{2}$ ?的變元選擇另一個(gè)符號。我們將使用? $Y = (y_{1} ,y_{2})^{t}$ ?。這個(gè)同構(gòu)B?將Y?發(fā)送到?? $\mathbf{B}Y = w_{1} y_{1} + w_{2} y_{2}$ ?，如(3.4.4)所示。

????????然而，這兩個(gè)特解? $w_{1}$ ?和? $w_{2 }$ ?并沒什么特別之處。大部分其它的解對(pairs)同樣契合良好。解? $w_{1}^{'} = (0 ,2,-1)^{t}$ ?和? $w_{2}^{'} = (1 ,4,-1)^{t}$ ?給到了我們 W 的第二個(gè)基? $\mathbf{B}' = (w_{1}^{'},w_{2}^{' })$ ?。以上任一基都足以唯一地描述方程的解空間。方程的一個(gè)解可以寫成以下任一形式

(3.5.6)

????????????????????? $\begin{bmatrix} y_{1}+y_{2}\\ 2y_{2} \\y_{1} \end{bmatrix}$ ? ??或? $\begin{bmatrix} y_{2}^{'}\\ 2y_{1}^{'}+4y_{2}^{'} \\-y_{1}^{'}-y_{2}^{'} \end{bmatrix}$ ?。

3.5.1? 換基(Change Of Basis)

??? 假設(shè)給到我們同一個(gè)向量空間V的兩個(gè)基，比如， $\mathbf{B} = (v_{1} ,... ,v_{n})$ ?和? $\mathbf{B}^{'} = (v_{1}^{'} ,... ,v_{n}^{'})$ ?。我們希望執(zhí)行兩個(gè)計(jì)算。首先，我們要問：這兩個(gè)基之間是怎樣的關(guān)系？第二，V中的一個(gè)向量v 針對這些基中的第一個(gè)基都有一個(gè)坐標(biāo)向量。因此，我們要問：這兩個(gè)坐標(biāo)向量之間是怎樣的關(guān)系？這些是有關(guān)換基的計(jì)算，并且它們在此后的章節(jié)中也十分重要。如果你不存細(xì)地組織好這些符號，它們可以令你發(fā)瘋。

???????? 我們姑且將B視為舊的基，而將B’ 視為新的基。我們注意到，新的基B’ 的每一個(gè)向量都是舊的基的一個(gè)線性組合。我們將這個(gè)線性組合寫為

(3.5.7)?????????? $v_{j}^{'} = v_{1} p_{1j} + v_{2} p_{2j} + ... + v_{n} p_{nj}$ ?。

當(dāng)使用舊的基向量進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，列向量? $p_{j} = (p_{1j}, ...,p_{nj})^{t}$ ?是新的基向量? $v_j^{'}$ ?的坐標(biāo)向量。我們將這些列向量聚成一個(gè)方陣P，獲得了一個(gè)矩陣方程 B’ = B P ：

(3.5.8)

???????? $\mathbf{B}' = ( v_{1}^{'} ,...,v_{n}^{'} ) = (v_{1} ,...,v_{n}) \begin{bmatrix} &&\\&P& \\&& \end{bmatrix} =\mathbf{B}P$ ? ?。

這個(gè)矩陣是 P 換基矩陣(basechange matrix)(注：這個(gè)換基矩陣是在第一版中使用的矩陣的逆矩陣)。

命題 3.5.9?

(a) 令 B和 B’ 為一個(gè)向量空間V的兩個(gè)基，換基矩陣 P 是由兩個(gè)基B和 B’ 唯一地確定的一個(gè)可逆矩陣。

(b)? 令? $\mathbf{B} = (v_{1} ,... ,v_{n})$ ?為一個(gè)向量空間V的一個(gè)基，另外的基是形如 B’ = B P 的集合，其中 P 可以是任意可逆的 n?×n 矩陣。

證明：

??? (a) 方程 B’ = B P 將基向量? $v_{i}^{'}$ ?描述為基 B 的一個(gè)線性組合。公有一種方式描述這個(gè)線性組合(3.4.14)，因此，P是唯一的。為了證明P是可逆矩陣，我們交換B和B’的角色。存一個(gè)矩陣 Q 使得 B = B’ Q 。則?B = B’ Q = B P Q ，或者

? $(v_{1} ,...,v_{n}) = (v_{1} ,... ,v_{n}) \begin{bmatrix} &&\\&PQ& \\&& \end{bmatrix}$ ? 。這個(gè)方程將每個(gè)?? $v_{i}$ ?描述為向量 $(v_{1} ,...,v_{n})$ ?的一個(gè)線性組合。這個(gè)乘法矩陣 P Q 的列值是系數(shù)。但是，因?yàn)?strong>B是一個(gè)基，僅有一種方式將? $v_{i}$ ?表述為向量? $(v_{1} ,...,v_{n})$ ?的一個(gè)線性組合，即，? $v_{i}=v_{i}$ ?，或者，按矩陣記法，B = B I 。因此，P Q = I 。

????????(b) 我們必須證明若 B 是一個(gè)基，且若P是一個(gè)可逆矩陣，則 B’ = B P 也是一個(gè)基。因?yàn)?em>P是一個(gè)可逆矩陣，則? $\mathbf{B} = \mathbf{B}^{'}P^{-1}$ ?。這表明，向量? $v_{i}$ ?在基B’ 所張成的空間中，因此，B’ 張成V，又因?yàn)樗哂信c B 同樣多的元素?cái)?shù)目，因此，它是一個(gè)基。

???????? 令 X?和 X ’ 為同一任意向量 v?分別針對兩個(gè)基進(jìn)行計(jì)算得到的坐標(biāo)向量，即，v = BX 和 v = B X ’ 。使用替換? $\mathbf{B} = \mathbf{B}^{'}P^{-1}$ ?便給到我們矩陣方程

(3.5.10)????? $v = \mathbf{B}X = \mathbf{B}^{'} P^{-1}X$ ??。

這就證明了v?針對新的基 B’ 的坐標(biāo)向量是? $P^{-1}X$ ??，我們稱為 X ’ 。

? ? ? ? 概言之，我們有一個(gè)單一矩陣 P (即換基矩陣)，具有雙重屬性

(3.5.11)????? B’ = B P 和 P X ’ = X ，

其中，X?和 X ’ 表示同一任意向量 v 針對兩個(gè)基的坐標(biāo)向量。這兩個(gè)屬性的每一個(gè)都刻畫了 P 。請注意P?在這兩種關(guān)系中的位置。

????????再次回到方程? $2x_{1} - x_{2} - 2x_{3} = 0$ ??，令 B和 B’ 為如上所描述的(3.5.6)解空間W 的基。換基矩陣求解方程

???????? $\begin{bmatrix} 0&1\\2&4 \\-1&-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1\\0&2 \\1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11}&p_{12}\\p_{21}&p_{22} \end{bmatrix}$ ?。即，? $P=\begin{bmatrix} -1&-1\\1&2 \end{bmatrix}$ ?。

已經(jīng)向量 v 針對兩個(gè)基的坐標(biāo)向量Y 和 Y ’ (在(3.5.6)中出現(xiàn)過)是按方程

???????? $PY^{'}=\begin{bmatrix} -1&-1\\1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_{1}^{'}\\y_{2}^{'}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix} =Y$ ?。

另一個(gè)例子：令 B = (cos(t),sin(t)) 為微分方程?? $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-y$ ?的解空間的一個(gè)基。若我們允許復(fù)數(shù)值函數(shù)，則指數(shù)函數(shù)? $e^{\pm it} = \cos(t) \pm i \sin(t)$ ?也是一個(gè)解，并且， $\mathbf{B}^{'} = (e^{it}, e^{-it})$ ?是解空間的一個(gè)新的基。這個(gè)換基計(jì)算是

(3.5.12)?? ???????? $(e^{it}, e^{-it})=(\cos(t),\sin(t)) \begin{bmatrix} 1&1\\i&-i \end{bmatrix}$ ? 。

換基矩陣容易確定的一種情況是，V 是列向量空間? $F^{n}$ ??，則舊基是標(biāo)準(zhǔn)基? $E = \{ e_{1} ,...,e_{n} \}$ ?，而新的基可以是任意的，我們?nèi)杂? $\mathbf{B} = (v_{1} ,... ,v_{n})$ ?表示。令? $v_{i}$ ?針對標(biāo)準(zhǔn)基的坐標(biāo)向量是列向量? $B_{i}$ ?。因此，? $v_{i}=\mathbf{E}B_{i}$ ?。我們將這些列向量組裝成一個(gè)n×n?矩陣并用[B]表示：

(3.5.13)

???????????????? $[\mathbf{B}]= \begin{bmatrix} |&&|\\ B_{1}&\hdots&B_{n}\\ |&&| \end{bmatrix}$ ?。則 ??? $(v_{1} ,... ,v_{n})=\{ e_{1} ,...,e_{n} \}\begin{bmatrix} |&&|\\ B_{1}&\hdots&B_{n}\\ |&&| \end{bmatrix}$ ?,

即，[B] = E[B] 。因此，[B] 是從標(biāo)準(zhǔn)基E 到 B的換基矩陣。

3.6? (子空間的)直和(DIRECT SUMS)

一個(gè)向量集的獨(dú)立和張成的概念對子空間而言具有類似之處。若? $W_{1}$ ?, ... ,? $W_{k}$ ?是一個(gè)向量空間V的子空間，則向量v?的集合可以寫為和式

(3.6.1)? ?? $v = w_{1} +...+ w_{k }$ ?，

其中， $w_{i}$ ?在? $W_{i}$ ?中，以上向量v的集合表達(dá)式被稱為子空間的和(sum)，或者子空間的張成(span)，并使用記法?? $W_{1} +...+ W_{k }$ ?來表示這個(gè)和：

(3.6.2)? ? ?? $W_{1} +...+ W_{k} = \{ v \in V | v = w_{1} +...+ w_{k},$ ?且? $w_{i }$ ?在? $W_{i}$ ?中? $\}$ ?

這個(gè)子空間的和是含有所有子空間? $W_{1}$ ?, ... , $W_{k}$ ?的V?的最小子空間。它類似于向量的一個(gè)集合的張成。

????????對于子空間? $W_{1}$ ?,... ,? $W_{k}$ ?, 若不存在和?? $w_{1} +...+ w_{k } = 0$ ?(? $w_{i }$ ?在?? $W_{i}$ ?中 ) ,?則除開平凡和(對于所有i , $w_{i}=0$ ?)這種情況,稱其為獨(dú)立的。換句話說，若

(3.6.3)? ? ? $w_{1} +...+ w_{k } = 0$ ?(? $w_{i }$ ?在? $W_{i}$ ?中 )?，

意味著對每一個(gè) i ，都有 $w_{i}=0$ ?，則空間是獨(dú)立的。

注意：假設(shè)? $v_{1} ,... ,v_{n }$ ?是V?的元素，并令? $w_{i}$ ?為向量? $v_{i}$ ?的張成。則當(dāng)且僅當(dāng)集合? $(v_{1} ,... ,v_{n})$ ?是獨(dú)立的時(shí)候，子空間? $W_{1 }, ... ,W_{k}$ ?是獨(dú)立的。如果我們對比(3.4.8)? 和 (3.6.3) ，這一點(diǎn)就變得顯而易見。根據(jù)子空間的概念，這個(gè)表述事實(shí)上更為簡潔，因?yàn)?#xff0c;在(3.6.3)中，標(biāo)量系數(shù)不必置于向量? $w_{i}$ ?的前面。由于每個(gè)? $W_{i}$ ?在標(biāo)量乘的定律下是閉合的，一個(gè)標(biāo)量乘? $cw_{i }$ ?只不過是? $W_{i}$ ?的另一個(gè)元素而已。

????????我們忽略以下命題的證明。

命題 3.6.4? 令 $W_{1}$ ?， ... ， $W_{k}$ ?是有限維向量空間V?的子空間，并令 ? $\mathbf{B}_{i}$ ?為 ? $W_{i}$ ??的一個(gè)基。

(a)? 下面的條件是等價(jià)的：

???????? $\bullet$ ??子空間? $W_{i}$ ?是獨(dú)立的，其和? $w_{1} +...+ w_{k}$ ?等于 V 。

???????? $\bullet$ ??通過追加基? $\mathbf{B}_{i}$ ?所獲得的集合? $\mathbf{B} = ( \mathbf{B} _{1} ,..., \mathbf{B} _{k} )$ ?是V?的一個(gè)基。

(b)? ? $\dim( W_{1} + ... + W_{k} ) \leq \dim(W_{1}) + ... + \dim(W_{k})$ ??，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)子空間? 獨(dú)立的時(shí)候，可取得等號。

(c)? 若對于 i = 1 ,..,?k ，? $W_{i}^{'}$ ?是? $W_{i}$ ?的子空間，并且，若空間? $W_{1} ,...,W_{k}$ ?是獨(dú)立的，則其子空間? $W_{1}^{'} ,... ,W_{k}^{'}$ ?也是獨(dú)立的。

若滿足命題 3.6.4 (a) 的條件，則我們稱 V 是子空間? $W_{1} ,...,W_{k}$ ?的直和(direct sum)(譯注：即由所有獨(dú)立的子空間構(gòu)的和，且恰好等于整個(gè)向量空間V ?)，我們記為? $V = W_{1} \oplus ... \oplus W_{k}$ ?：

(3.6.5) ?? 若 $W_{1} + ... + W_{k} = V$ ?且? $W_{1} ,...,W_{k}$ ?是獨(dú)立的，則

???????? $V = W_{1} \oplus ... \oplus W_{k}$ ?。

若 V 是各子空間的直和，則 V 中的每一個(gè)向量v 都可以恰好以一種方式寫成(3.6.1)的形式。

命題 3.6.6? 令 $W_{1}$ ?和? $W_{2}$ ?為一個(gè)有限維向量空間 V 的子空間。

(a)? ? $\dim W_{1} + \dim W_{2} = \dim (W_{1} \cap W_{2}) + \dim (W_{1} + W_{2})$ ?。

(b)? 當(dāng)且僅當(dāng)? $W_{1} \cap W_{2} = \{0\}$ ?時(shí)， $W_{1}$ ?和? $W_{2}$ ?是獨(dú)立的。

(c)? 當(dāng)且僅當(dāng)? $W_{1} \cap W_{2} = \{0\}$ ?且? $W_{1} + W_{2}=V$ ?時(shí)，V 是直和? $W_{1} \oplus W_{2}$ ?。

(d)? 若? $W_{1} + W_{2}=V$ ?，則存在 ? $W_{2}$ ?一個(gè)的一個(gè)子空間 ? $W_{2}^{'}$ ?，使得 ? $W_{1}+W_2^{'}=V$ ??。

證明：

????????我們證明關(guān)鍵部分(a)：我們選取? $W_{1} \cap W_{2}$ ?的一個(gè)基? $\mathbf{U} = \{u_{1} ,... ,u_{n}\}$ ??, 并將其擴(kuò)展為? $W_{1}$ 的一個(gè)基? $(\mathbf{U} , \mathbf{V}) = (u_{1} ,...,u_{k} ;v_{1} ,...,v_{m})$ ?。我們也將 $\mathbf{U}$ 擴(kuò)展成 $W_{2 }$ ?的一個(gè)基 $(\mathbf{U} , \mathbf{W}) = ( u_{1} ,...,u_{k} ;w_{1} ,...,w_{n} )$ ?。則 $\dim (W_{1} \cap W_{2}) = k$ ?,? $\dim W_1 = k + m$ ?和??? $\dim W_{2} = k + n$ ?。如果我們證明 $k + m + n$ 個(gè)元素的集合? $(\mathbf{U} , \mathbf{V},\mathbf{W}) = (u_{1} ,...,u_{k} ;v_{1} ,...,v_{m};w_{1},...,w_{n})$ ?是? $W_{1} + W_{2}$ ??的一個(gè)基，這個(gè)論斷將順承。

??? 我們必須證明 (U , V , W ) 是獨(dú)立的，并且張成? $W_{1} + W_{2}$ ?。 $W_{1} + W_{2}$ ?的一個(gè)元素具有形如 $w^{'}+ w^{''}$ 的形式，其中， $w^{'}$ ?在? $W_{1}$ ?中，而 $w^{''}$ 在? $W_{2}$ ?中。根據(jù)? $W_{1}$ ?的基 U , V )，我們將 $w^{'}$ ?寫成諸如?? $w^{'}= \mathbf{U}X + \mathbf{V}Y = u_{1} x_{1 }+ ... + u_{k} x_{k} + v_{1} y_{1} + ... + v_{m} y_{m}$ ?。我們與將 $w^{''}$ ?寫成? $W_{2}$ ?的基 (U , W?)的一個(gè)線性組合? $\mathbf{U}X^{'} + \mathbf{W}Z$ ?。則? $\mathbf{V} = w^{'}+ w^{''}= \mathbf{U}(X + X^{'} ) + \mathbf{V}Y + \mathbf{W}Z$ ?。

????????下一步，假設(shè)給到我們一個(gè)向量(U , V , W )元素之間的線性關(guān)系 UX + VY? + WZ = 0 。我們將其寫為 UX + VY? = -WZ 。這個(gè)方程的左邊在? $W_{1}$ ?中，而方程的右邊在? $W_{2}$ ?中。因此，-WZ 在? $W_{1}\cap W_{2}$ ?中，因此，它是基 U的線性組合 U X’ 。這給予我們一個(gè)方程 UX’ ?+ WZ? = 0 。因?yàn)榧?(U , W) 是? $W_{2}$ ?的一個(gè)基，它是獨(dú)立的，因此，X’ 和 Z 只能是 0 。這個(gè)已經(jīng)關(guān)系就縮減為 UX + VY = 0 。但是，(U , V )也是一個(gè)獨(dú)立集合。因此，X?和Y?是0 。這個(gè)關(guān)系是平凡的。

3.7? 無限維空間(INFINITE-DIMENSIONAL SPACES)

??? 那種太大而不通過通有限向量集張成的空間被稱為無限維向量空間(infinite-dimensional)。我們并不經(jīng)常需要它們，但它們在分析中是非常重要的，因此，我們在此作簡要討論。

????????無限維向量空間最簡單例子之一便是無限實(shí)行向量空間? $\mathbb{R}^{\infty}$ ?

??(3.7.1)?????? $(a) = ( a_{1} , a_{2} , a_{3} , ...)$ ?。

一個(gè)無限維向量可以視為一個(gè)實(shí)數(shù)序列? ? $a_{1} , a_{2} , a_{3} , ...$ ?。

????????空間? $\mathbb{R}^{\infty}$ ?具有許多無限維子空間。在此列舉幾個(gè)；讀者也可以編造更多：

例子 3.7.2

(a)? 收斂序列： $C = \{(a) \in R^\infty |$ ?極限? $\displaystyle \lim_{n->\infty}{a_{n}}$ ?存在? $\}$ ?。

(b)? 絕對收斂級數(shù)： $\displaystyle \ell^{1} = \{(a) \in \mathbb{R}^{\infty} | \sum_{1}^{\infty}|a_{n}|< \infty \}$ ?。

???????? $Z = \{(a) \in \mathbb{R}^{\infty} | a_{n} = 0$ ?(對除了有限多n 的所有項(xiàng))? $\}$ ?。

現(xiàn)在，假設(shè)V是一個(gè)有限維或無限維向量空間。一個(gè)向量無限集的“張成(span)”指的是什么呢？將一個(gè)值賦予一個(gè)無限的線性組合?? $c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + ...$ ?并非總是可能。若是向量空間? $\mathbb{R}^{n}$ ?,如果級數(shù)? $c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + ...$ ?是收斂的，則可以賦予其一個(gè)值。但是很多級數(shù)不收斂，那么我們并不知道應(yīng)該賦予什么值。在代數(shù)中，習(xí)慣于僅討論有限多個(gè)向量的線性組合。一個(gè)無限集S的張成被定義為向量v?的集合，這些向量v?是有限多個(gè)S?的元素的線組合的：

(3.7.3)?????????? $v=c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + ...+c_{r}v_{r}$ ??(其中， $v_{1},...,v_{r }$ ?在 S 中)。

S 中的向量? $v_{i}$ ?可以是任意的，允許數(shù) r 依賴于向量v 并且可以任意大：

(3.7.4)???

?????? ??? Span S = { S?的元素的有限線性組合}。

例如，令? $e_{i} = \{0 ,...,0 , 1 , 0 ,...\}$ ?為? $\mathbb{R}^{\infty}$ ?中的行向量，且 1 作為其唯一非零坐標(biāo)在第i個(gè)位置。令? $E = \{ e_{1} ,e_{2},e_{3},... \}$ ?為這些向量的集合。這個(gè)集合不會張成? $\mathbb{R}^{\infty}$ ?，因?yàn)橄蛄?/p>

??????? $w = \{1 ,1, 1 ,...\}$

不是一個(gè)(有限)線性組合。集合 E 的張成是子空間 Z (3.7.2)(c)。

????????對于一個(gè)有限或無限集 S ，若除了平凡關(guān)系(即， $c_1 = ... = c_r = 0$ ?)，不存在有限線性關(guān)系

(3.7.5)??? ??? $c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + ... + c_{r} v_{r} = 0$ ?(其中，? $v_{1},...,v_{r}$ ?在 S 中),

則稱集合 S 是獨(dú)立的。此外，允許數(shù) r 取任意值,即，對任意大的 r 和 S 的任意元素

$v_{1} ,...,v_{r}$ ?這個(gè)條件都一定成立。例如，令? $S ^{'} = (w;e_{1} ,e_{2} ,e_{3} ,...)$ ?,若 w 和? $e_{i}$ ?是如上定義的元素，則其是獨(dú)立的。根據(jù)獨(dú)立性的這個(gè)定義，命題3.4.15 繼續(xù)有效。

????????與有限集一樣，V?的一個(gè)基S 是張成 V 的一個(gè)獨(dú)立集合。集合? $S = (e_{1} ,e_{2} ,...)$ ?是空間 Z的一個(gè)基。單項(xiàng)式(monomials)? $x^{i}$ ?組成多項(xiàng)式空間(polynomials space)的一個(gè)基。使用 Zorn引理(Zorn’s lemma)和選擇公理(Axiom o f Choice), 可以證明，每一個(gè)向量空間都有一個(gè)基(見附錄，命題A.3.3)。然而， $\mathbb{R}^{\infty}$ ?的基有無數(shù)多個(gè)元素，并且不能說得非常準(zhǔn)確。

讓我們暫時(shí)回到向量空間 V 是有限維的情況(3.4.16)，并詢問是否可以有無限基。我們在(3.4.21)中看到，任何兩個(gè)有限基都有相同數(shù)量的元素。我們現(xiàn)在通過證明每個(gè)基都是有限的來完成這個(gè)圖景。這是從下一個(gè)引理得出的。

引理 3.7.6? 令V?為一個(gè)有限維向量空間，令S?為張成V?的任間集合。則 S 包含張成V?的有限子集。

證明：????????假設(shè)，存在一個(gè)有限集，比如? $( u_{1} , ... , u_{m})$ ?,它張成V。因?yàn)?em>S張成V，所以，每個(gè)向量? $u_{i}$ ?都是S的有限多個(gè)元素的一個(gè)線性組合。我們用于將向量的所有元素寫成線性組合的S的元素組成S的一個(gè)有限子集S ’ 。則這個(gè)向量? $u_{i}$ ?在 Span S ’ 中，又因?yàn)? $( u_{1} , ... , u_{m})$ ?張成V, 因此，S ’ 也張成V 。

推論 3.7.7 ?令V?為一個(gè)有限維向量空間。

$\bullet$ ? ??每一個(gè)基都是有限的。

$\bullet$ ? ??張成V?的每一個(gè)集合S?都有一個(gè)基。

$\bullet$ ? ??每一個(gè)獨(dú)立集合L是有限的，且可被擴(kuò)展成一個(gè)基。

????????????????I don't need to learn 8 + 7: I'll remember 8 + 8 and subtract 1.

????????????????(我不必學(xué)習(xí) 8 + 7: 我將記住 8 + 8 并減1 )

??????????????????????????????? ????????????????????????????????——T. Cuyler Young, Jr.

?????

內(nèi)容來源：

<<Algebra>> Michael Artin, 2th

???

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3.1? ? $\mathbb{R}^{n}$ ?(R^n)的子空間

3.2? 域(FIELDS)

3.3? 向量空間(VECTOR SPACES)

3.4? (向量空間的)基底和維數(shù)(BASES AND DIMENSION)

3.5? 用基進(jìn)行計(jì)算(COMPUTING WITH BASES)

3.5.1? 換基(Change Of Basis)

3.6? (子空間的)直和(DIRECT SUMS)

3.7? 無限維空間(INFINITE-DIMENSIONAL SPACES)

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3.1? ??(R^n)的子空間

3.2? 域(FIELDS)

3.3? 向量空間(VECTOR SPACES)

3.4? (向量空間的)基底和維數(shù)(BASES AND DIMENSION)

3.5? 用基進(jìn)行計(jì)算(COMPUTING WITH BASES)

3.5.1? 換基(Change Of Basis)

3.6? (子空間的)直和(DIRECT SUMS)

3.7? 無限維空間(INFINITE-DIMENSIONAL SPACES)

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